2.3.2双曲线的简单几何性质

2.3.2双曲线的简单几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形焦点性质焦距___________F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)|F1F2|＝2c标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)范围或，y∈或，x∈对称性对称轴：；对称中心：顶点轴实轴：线段，长：；虚轴：线段，长：；半实轴长：，半虚轴长：离心率e＝ca∈性质渐近线__________________x≤－ax≥aRy≤－ay≥aR坐标轴原点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)A1A22aB1B22bab(1，＋∞)y＝±baxy＝±abx等轴双曲线实轴和虚轴的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是，离心率为.等长y＝±xe＝2对双曲线的简单几何性质的几点认识双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然．[例1]求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．[解]双曲线的方程化为标准形式是x29－y24＝1，∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝13.又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，焦点坐标为(－13，0)，(13，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝ca＝133，渐近线方程为y＝±23x.练习•课本61页习题2.3第3题[例2]求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±32x.[解](1)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．由题意知2b＝12，ca＝54且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8，∴双曲线的标准方程为x264－y236＝1或y264－x236＝1.(2)设以y＝±32x为渐近线的双曲线方程为x24－y29＝λ(λ≠0)，当λ＞0时，a2＝4λ，∴2a＝24λ＝6⇒λ＝94.当λ＜0时，a2＝－9λ，∴2a＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为x29－4y281＝1或y29－x24＝1.[类题通法]如果已知双曲线的渐近线方程为y＝±bax，那么此双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．[活学活用]分别求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)；(2)双曲线过点(3,92)，离心率e＝103.(3)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．解：(1)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．由已知得a＝3，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.故双曲线C的标准方程为x23－y2＝1.(2)由e2＝109，得c2a2＝109，设a2＝9k(k＞0)，则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k.于是，设所求双曲线方程为x29k－y2k＝1，①或y29k－x2k＝1，②把(3,92)代入①，得k＝－161与k＞0矛盾；把(3,92)代入②，得k＝9，故所求双曲线的标准方程为y281－x29＝1.(3)设与双曲线x22－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x22－y2＝k(k≠0)，将点(2，－2)代入，得k＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为y22－x24＝1.[例3]已知双曲线的渐近线方程为y＝±34x，求此双曲线的离心率．[解]当焦点在x轴上时，其渐近线方程为y＝±bax，依题意，得ba＝34，b＝34a，c＝a2＋b2＝54a，∴e＝ca＝54；当焦点在y轴上时，其渐近线方程为y＝±abx，依题意，得ab＝34，b＝43a，c＝a2＋b2＝53a，∴e＝ca＝53.∴此双曲线的离心率为54或53.[活学活用]已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．解：设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得c2a2－y2b2＝1，则y＝±b2a.由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|，∴b2a＝2c，∴b2＝2ac.∴c2－2ac－a2＝0，∴ca2－2×ca－1＝0.即e2－2e－1＝0.∴e＝1＋2或e＝1－2(舍去)．所以所求双曲线的离心率为1＋2.5．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)过点(3，－2)，离心率e＝52；(2)中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－10)．解：(1)若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．因为双曲线过点(3，－2)，则9a2－2b2＝1.①又e＝ca＝a2＋b2a2＝52，故a2＝4b2.②由①②得a2＝1，b2＝14，故所求双曲线的标准方程为x2－y214＝1.若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．同理可得b2＝－172，不符合题意．综上可知，所求双曲线的标准方程为x2－y214＝1.(2)由2a＝2b得a＝b，∴e＝1＋b2a2＝2，所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点P(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.∴双曲线的标准方程为x26－y26＝1.当堂检测