第3章 均匀各项同性湍流

第三章均匀各项同性湍流3.1均匀湍流流场的相关函数和谱张量3.2均匀各向同性湍流场的相关函数和谱张量3.3不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程3.4不可压缩均匀各向同性湍流动力学的若干性质3.5不可压缩均匀各向同性湍流中的湍动能传输链3.6局部各向同性湍流的结构函数3.7各向同性湍流相关方程的封闭定义：如果任意n点空间几何构形在空间中平移时，脉动速度任意n阶统计相关函数的值不变(或任意n点联合概率密度不变)，则称该湍流场是均匀的。上图表示均匀湍流的定义（只表示4阶相关），在均匀湍流场中4点统计相关函数只和4点间3个相对向量有关3.1均匀湍流流场的相关函数和谱张量均匀湍流场定义：如果任意n点空间几何构形在空间中平移和转动时，脉动速度的任意n阶统计相关函数的值不变(或任意n点联合概率密度不变)，则称该湍流场是均匀各向同性的。3.1均匀湍流流场的相关函数和谱张量均匀各向同性理论上，各向同性湍流是一种最简单的湍流，便于做理论和数值的研究；实际上，严格意义上的各向同性湍流几乎不存在。研究各向同性湍流有两个方面的意义：（1）各向同性湍流具有湍流质量、能量输运的基本属性，这些性质对于研究一般湍流也是十分重要的；（2）虽然严格意义上的各向同性湍流并不存在，但是远离地面的大气以及远离海面、海岸和海底的浩瀚海洋中的湍流可以近似为各向同性的。事实上，大气和海洋科学家常常应用各向同性湍流的研究结果。3.1均匀湍流流场的相关函数和谱张量3.1均匀湍流流场的相关函数和谱张量（1）均匀湍流场中2阶两点速度互相关张量有以下的对称性：下面讨论2阶相关函数，至于高阶相关张量的性质，可以用同样的方法导出。(2)均匀湍流场中一点2阶自相关总是大于两点2阶自相关函数，即有(3)不可压缩均匀湍流场中，2阶两点速度相关满足以下等式：3.1均匀湍流流场的相关函数和谱张量(4)不可压缩均匀湍流场中2阶速度谱张量有以下等式：(5)均匀湍流场中2阶速度谱张量是Hermit张量，2阶速度谱张量等于它的转置张量的复共轭：(6)均匀湍流场中脉动涡量的2阶相关函数和谱张量，脉动涡量是脉动速度的旋度均匀湍流场中脉动涡量的相关函数可以由脉动速度的相关函数求得3.1均匀湍流流场的相关函数和谱张量(7)不可压缩均匀湍流场巾脉动涡量的2阶谱张量(8)均匀不可压缩湍流场中的湍动能耗散湍动能耗散率：湍流耗散张量和湍动能耗散的积分表达式：3.2均匀各向同性湍流场的相关函数和谱张量3.2.1张量的不变量和张量函数张量不变量概念：有限阶张量只有有限个独立不变量，应用Coyley-Hamiton定理可证明：2阶张量只有三个独立不变量，即2阶张量的迹以及它的平方和立方的迹是三个独立不变量，2阶张量的高阶幂函数的迹可以由以上三个独立不变量算出。张量函数的坐标不变性：任何物理定律或定理，不论它足用标量表示还是用张量表示，都应当和坐标系的刚体转动无关。3.2均匀各向同性湍流场的相关函数和谱张量3.2.2各向同性湍流的相关张量函数及其性质N点几何构形由n-1个相对向量完全确定，因此各向同性湍流流场中n阶相关的表达式为：121,....,,n根据各向同性湍流的定义，要求相关张量函数在坐标系转动时具有不变性。应用前面知识，就可以导出各向同性湍流场中各阶相关函数的表达式。3.2均匀各向同性湍流场的相关函数和谱张量各向同性湍流场中2阶速度相关函数必有以下的函数式：1.各向同性湍流场中两点2阶速度相关函数的表达式选定两个特定几何构形的相关：纵向相关和横向相关，它们的定义如图3-3所示。3.2均匀各向同性湍流场的相关函数和谱张量按照纵向相关和横向相关的定义带入，各向同性湍流场中2阶速度相关的一般表达式，就有：定义：沿相对位移方向的脉动速度分量的2阶相关称做两点纵向相关定义：垂直于相对位移方向的脉动速度分量的2阶相关称做两点横向相关3.2均匀各向同性湍流场的相关函数和谱张量坐标不变性的两个向量之间的函数关系必然是共线的，即：2．各向同性湍流场中速度--压强的两点2阶相关函数的表达式3．各向同性湍流场中两点速度3阶相关函数表达式空间两点的速度3阶相关函数的一般形式是，它是3阶张量，在均匀湍流场中，它只是的函数。各向同性湍流的两点速度3阶相关函数的表达式应是：3.2均匀各向同性湍流场的相关函数和谱张量4.旋转系统中均匀湍流的两点速度相关在无界旋转系统山的湍流场仍然可能是均匀的，但是由于旋转系统中的哥氏惯性力，湍流场不再保持各向同性。即使是无界湍流场是均匀的，这时2阶速度相关函数将是两点相对向量和角速度的函数，并可以写为：坐标系转动无关的2阶张量函数表达式应是：进一步还可以化为：3.2.3不可压缩各向同性湍流的相关张量函数及其性质3.2均匀各向同性湍流场的相关函数和谱张量1．不可压缩各向同性湍流的2阶速度相关函数均匀不可压缩湍流流场中2阶速度相关有以下等式：运用前面知识，在以上两个等式基础上，可以得到：3.2均匀各向同性湍流场的相关函数和谱张量2．不可压缩各向同性湍流的3阶速度相关函数不可压缩各向同性湍流场中两点3阶速度相关可用一个纵向相关函数表示为：3．不可压缩各向同性湍流场中压强--速度2阶相关等于零上式的解为3/CR，因为0时，R(0)是一点的压强--速度相关，应是有限值，故C必须等于零，从而0R，即0piR。同样，不可压缩各向同性湍流场中的3阶速度谱张量的一般表达式为：3.2均匀各向同性湍流场的相关函数和谱张量4.不可压缩各向同性湍流场中的速度谱张量的性质物理空间中各向同性湍流在谱空间中也是各向同性的，因此它的2阶速度谱张量函数必有以下形式：3.3不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程3.3.1不可压缩均匀湍流的基本方程湍流满足Navier-Stokes方程。对于不可压缩流体的均匀湍流场，它的平均流速是常向量，因此不失其一般性的讨论，可以令平均速度等于零。于是，均匀湍流的脉动场(取消脉动量的上标“-”’号)满足Navier-Stokes方程：脉动压强满足Poisson方程：上面三式构成了不可压湍流的基本方程3.3不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程下面考察不可压缩均匀湍流场中的湍动能和雷诺应力的演化。对于不可压缩均匀湍流，一点的统计相关量的空间导数等于零，因此它的湍动能利雷诺应力方程可以简化为：由上式可见，均匀湍流场中湍动能总是耗散的，或者说湍流脉动总是衰减的，初始的湍动能在演化过程中将耗散殆尽。3.3不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程3.3.2不可压缩均匀湍流的谱理论对湍流速度场和压强场进行傅立叶展开，经过一系列变换，可以得到谱空间中湍流脉动的演化方程：忽略非线性作用，单独考察粘性耗散，有如下积分式：粘性耗散使脉动以指数函数衰减，衰减指数和波数的平方成正比，因此高波数成分迅速衰减，单纯衰减过程中各波段间相位关系不变。3.3不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程3.3.3不可压缩均匀湍流中的湍动能输运过程湍流各个脉动成分间的相互作用有双重含义：一种是各个波段间速度分量相互作用；另一种是同一波数下各个速度分量间的相互作用，压强梯度和惯性分别担当这两种作用。（1）压强在不同脉动分量间重新分配能量，而不改变给定尺度(波数)的湍动能（2）惯性作用产生各波段间动量传输，但不改变物理空间中各脉动分量的平均能量谱空间中脉动动量输运的动力学方程：3.3不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程3.3.4均匀湍流中的湍动能传输链在粘性作用下，脉动速度逐渐衰减，而且小尺度的成分衰减得最快，于是在耗散过程中大尺度脉动成分占更多份额。由于惯性在速度脉动的各个尺度间进行动量输运，它将大尺度脉动的动能传输给小尺度脉动。于是在粘性和惯性的联合作用下，湍流脉动场形成一种能量传输链：大尺度湍流脉动通过惯性作用向小尺度湍流脉动不断输送能量，这股能量在小尺度湍流脉动中耗散殆尽。在能量传输过程中，压强在各个脉动分量间起调节作用，如果物理空间中初始脉动场的动能在各个分量间分配不均匀，压强梯度将使它们逐渐均分。3.4不可压缩均匀各向同性湍流动力学的若干性质3.4.1不可压缩均匀湍流的2阶速度相关动力学方程和谱张量动力学方程动力学方程谱张量动力学方程3.4不可压缩均匀各向同性湍流动力学的若干性质3.4.2不可压缩均匀各向同性湍流的Karman-Howarth方程上式即为不可压缩各向同性湍流的2阶纵向速度相关方程。最早由Karman和Howarth(1938)导出，称为卡门--霍华斯方程。Karman--Howarth方程是线性偏微分方程，较之原始变量的N—S方程要简单得多，不过，Karmnn--Howarth方程仍然是不封闭的。脉动压强和速度相关项的作用使湍流脉动速度各向同性化，一旦湍流场达到各向同性状态，压强—速度相关项就不再有任何作用。3.4不可压缩均匀各向同性湍流动力学的若干性质3.4.3Karman--Howarth方程的应用1．不可压缩均匀各向同性湍流场中湍动能耗散方程和Taylor微尺度湍动能耗散率直接和Taylor微尺度直接相关上式表明Taylor微尺度是各向同性湍流中的湍动能耗散特征尺度或者或者3.4不可压缩均匀各向同性湍流动力学的若干性质2洛强斯基(1939)不变量上面称为洛强斯基不变量，它表示各向同性湍流场衰减过程中某种统计特征量的守恒性。3．均匀各向同性湍流的后期衰变各向同性湍流的衰减后期，湍流脉动量很小，这时3阶相关和2阶相关相比是高阶小量，因而可略去不计，于是不可压缩各向同性湍流的后期衰变方程简化为：3.4不可压缩均匀各向同性湍流动力学的若干性质通过分析表明，不可压缩各向同性湍流的后期衰变过程中，湍动能随时间以(-2.5)次方的幂函数衰减；Taylor微尺度则随时间以0.5次方增长；以上结果得到Batchelor和Townsend(1948)实验的很好验证，见图3-6。3.5不可压缩均匀各向同性湍流中的湍动能传输3.5.1不可压缩均匀各向同性湍流中的湍动能输运方程积分的谱空间湍动能方程可写为：图3-7是各向同性湍流的典型传输谱，图3-8是典型的能谱kTkE3.5不可压缩均匀各向同性湍流中的湍动能传输各向同性湍流场中湍动能输运的基本特性如下：(1)湍动能的分布：大尺度脉动含有湍动能的绝大部分，而小尺度脉动含有很少动能(请注意湍动能谱曲线是对数坐标，能量的绝大部分在能谱最大的波数附近)(2)惯性作用的输运：大尺度脉动(小波数)输出能量，小尺度脉动则通过惯性输入能量(3)湍动能耗散：小尺度脉动占有湍动能耗散的绝大部分，而大尺度脉动的耗散很少。3.5不可压缩均匀各向同性湍流中的湍动能传输3.5.2各向同性湍流中的特征尺度当流动的雷诺数很大时，湍动能谱和耗散谱几乎完全分离，定性地示于图3.9(a)，如果把各种波数的脉动成分看作不同尺度的湍涡，它可形象地示于图3.9(b)，有一股能量的速度从大尺度涡向小尺度涡传输。3.5不可压缩均匀各向同性湍流中的湍动能传输可以估计含能尺度的量级等于1含能波数和含能尺度谱最大值的波数定义为含能波数，它的倒数定义为含能尺度L，即ink在含能尺度范围内(又称含能区)，湍动能通过惯性传输能量，而湍动能耗散几乎可以忽略，也就是说，含能尺度范围内，惯性主宰湍流运动，因此含能尺度范围又称惯性区。3.5不可压缩均匀各向同性湍流中的湍动能传输2耗散波数和耗散区尺度只有湍动能耗散、而能量传输几乎为零的波数定义为耗散波数，它的倒数定义为耗散区尺度。尺度和速度量级应等于由上面可知：雷诺数等于1的流动是粘性主宰的耗散流动，就是说在耗散尺度范围内的湍流脉动是粘性主宰的，这一范围称为耗散区。3.5不可压缩均匀各向同性湍流中的湍动能传输3.5.3Kolmogorov的局部各向同性假定和湍能谱的-5/3幂次律Kolmogorov认为在高雷诺数湍流中存在局部平衡的各向同性湍流，它有以下性质(或称Kolmogorov第一假定)：(1)在高市诺数湍流场中。湍流脉动存在很宽阔的尺度范围，在远离含能尺度和耗散区的惯性子区中，湍流脉动处于局部各向同性的平衡状态。(2)小尺度湍流脉动具有统计相似性。(3)确定小尺度