第2章 动态系统的状态空间描述(2015)

第2章线性系统的状态空间描述引言经典控制理论以系统的输出输入特性为研究依据，对线性定常连续系统，其基本数学模型为线性定常高阶微分方程、传递函数;对线性定常离散系统,其基本数学模型则为线性定常高阶差分方程、脉冲传递函数。但这些模型仅仅描述了系统输入、输出之间的外部特性,不能揭示系统内部各物理量的运动规律，若要完全揭示整个系统的全部运动状况，仅凭输入、输出描述是不够的，即系统的输入、输出描述是一种不完全的描述。传递函数的局限适用于SISO线性定常系统,能便利地处理这一类系统的瞬态响应分析或频率法的分析和设计。对于MIMO系统、时变系统和非线性系统无能为力仅能反映系统输入与输出之间传递的线性动态特性,不能反映系统内部的动态变化特性。是一种对系统外部动态特性的描述,在实际应用中受到限制。状态空间分析法不仅适用于SISO线性定常系统,也适用于非线性系统、时变系统、MIMO系统以及随机系统等。适用范围广,对各种不同的系统,其数学表达形式简单而且统一。更突出优点：便于利用数字计算机进行运算和求解,甚至直接用计算机进行实时控制。系统动态特性的状态空间描述：由两个数学方程组成，一个是反映系统内部状态变量和输入变量间因果关系的状态方程;另一个是表征系统内部状态变量及输入变量与输出变量转换关系的输出方程。●能反映系统全部独立变量的变化,从而能同时确定系统的全部内部运动状态,且可方便地处理初始条件●不仅描述了系统输入、输出外部特性,而且揭示了系统内部的结构特性，能完全表征系统的所有动力学特征,因而是对系统的一种完全的描述。建立动态系统的状态空间模型是状态空间分析和综合的基本问题和前提。本章在介绍状态空间分析法基本概念的基础上，讨论状态空间描述的内涵、形式（连续、离散）、建立方法（机理、实现）、特性（线性定常系统的特征值和特征向量）动态系统数学模型的等效变换（状态向量的线性变换与状态空间表达式标准型、线性定常系统的固有特性在线性非奇异变换下保持不变）；研究组合系统（串、并联，反馈）的状态空间描述。2.1动态系统的状态空间模型2.1.1状态空间的基本概念2.1.2动态系统状态空间表达式的一般形式2.1.3状态空间模型的图示2.1.4由系统机理建立状态空间模型示例2.1.1状态空间的基本概念1.系统的基本概念2.动态系统的两类数学描述3.系统状态空间描述的基本概念1.系统的基本概念■系统:是由相互制约的各个部分有机结合，且具有一定功能的整体。如：电力系统由发电、变电、输电、配电和用电等环节组成的电能生产与消费系统。功能：一次能源通过发电动力装置（锅炉、汽轮机、发电机等）转化成电能，再经输、变电系统及配电系统将电能供应到各负荷中心，通过各种设备再转换成动力、热、光等不同形式的能量。1.系统的基本概念■静态系统:对于任意时刻t，系统的输出惟一地取决于同一时刻的输入，这类系统称为静态系统。静态系统亦称为无记忆系统。静态系统的输入、输出关系为代数方程。■动态系统:对任意时刻，系统的输出不仅与t时刻的输入有关，而且与t时刻以前的累积有关(这种累积在t0(t0t)时刻以初值体现出来)，这类系统称为动态系统。由于t0时刻的初值含有过去运动的累积，故动态系统亦称为有记忆系统。动态系统的输入、输出关系为微分方程。动态系统与静态系统的区别:静态系统的输出取决于当前系统的瞬时输入,而动态系统的输出取决于系统当前及过去的输入信息的影响的叠加。如：电阻的电流直接当前的电压输入与电阻值之比电容两端的电压则是通过电容的当前及过去的电流的积分值与电容值之比。动力学系统实例：含有电感和电容等储存电能量的元件的电网络系统含有弹簧和质量体等通过位移运动来储存机械能量的刚体力学系统存在热量和物料信息平衡关系的化工热力学系统连续系统：变量的作用时刻是连续的。（微分方程）离散系统：输入、输出和状态变量只在某些离散采样时刻取值的系统。（差分方程）数字计算机只能处理数字信号，其不仅在数值上整量化，且在时间上离散化为了对计算机数字控制系统进行分析与综合，需要对连续被控对象离散化；另一方面，在已知各状态变量初始值的条件下，将连续状态方程离散化，应用数字计算机易从初始时刻递推求出各采样时刻的状态变量值，得到连续状态方程近似数值解，从而避免数值积分繁琐计算。动态系统建模•机理分析建模–按照系统的实际结构,工作原理,并通过某些决定系统动态行为的物理定律、化学反应定律、社会和经济发展规律,以及各种物料和能量的平衡关系等来建立系统模型。•实验建模(系统辨识)–通过对系统的实验或实际运行过程中取得能反映系统的动态行为的信息与数据,用数学归纳处理的方法来建立系统模型。动态系统建模不同建模目的,采用不同数学工具和描述方式,以及对模型精度的不同要求,都会导致不同的数学模型。一个实际系统可用不同的数学模型描述。–大多数实际系统的动力学模型都具有非线性特性,而且系统是以分布参数的形式存在。•若考虑这些复杂因素,必然将使所建模型中含有复杂的非线性微分方程或偏微分方程,给模型在系统分析、控制系统的设计和实现上带来相当大的困难。•在给定的容许误差范围内,若将这些复杂因素用线性特性、集中参数的形式去近似,将大大简化系统模型的复杂程度,从而使所建立的模型能有效地运用到系统分析和设计动态系统建模–过多考虑各种复杂因素的简化和近似,也必然影响系统数学模型的精度,以及模型在分析、综合和控制中的应用效果。•一个合理的数学模型应是对其准确性和简化程度作折中考虑,它是在忽略次要因素,在现实条件和可能下,在一定精度范围内的,尽可能抓住主要因素,并最终落脚于实际应用的目标、条件(工具)与环境的结果。•模型并不是越精确越好、越复杂越好。2.动态系统的两类数学描述(1)外部描述外部描述通常称为输入、输出描述，这种描述把系统的输出取为系统外部输入的直接响应，显然这种描述回避了表征系统内部的动态过程即把系统当成一个“黑匣”，认为系统的内部结构和内部信息全然不知，系统描述直接反映了输出变量与输入变量间的动态因果关系。考察图示n级RC网络。图中虚线框内为具有放大器隔离的n级RC电路,设放大器的输入阻抗为无穷大，输出阻抗为零，放大倍数为1。n级RC网络buyayayaynnnn)1(1)1(1)(已知输入u，解方程式可求出输出响应y,但不能得知系统内部电容上电压随时间变化的动态过程。系统以输入u、输出y作为变量的外部描述为式(1-3)所示的高阶线性常系数微分方程,即(2)内部描述状态空间描述是内部描述的基本形式，这种描述是基于系统内部结构分析的一类数学模型。其由两个数学方程组成:一个是反映系统内部状态变量x1,x2,…,xn和输入变量u1,u2,…,ur间因果关系的数学表达式，称为状态方程，其数学表达式的形式对于连续时间系统为一阶微分方程组，对于离散时间系统为一阶差分方程组;x(2)内部描述另一个是表征系统内部状态变量x1,x2,…,xn及输入变量u1,u2,…,ur与输出变量y1,y2,…,ym转换关系的数学表达式，称为输出方程,其数学表达式的形式为代数方程。重新考察图1-4的电网络，利用电路知识容易得到如下一阶微分方程组x)1(122222211111111dd11dd11ddncnncnnncncccccuCRuCRtuuCRuCRtuuCRuCRtu（1）及cnLLuRRRy0(2）在已知输入u的情况下，解方程式（1）、式（2）,不仅可求出输出响应y，而且能得知系统内部电容上电压随时间变化的动态过程信息。因此,式（1）、式(2)是图示电网络系统的一种完全描述。3.系统状态空间描述的基本概念(1)动态系统的状态动态系统的状态是完全地描述动态系统（过去、现在将来）运动状况的信息。系统在某一时刻的运动状况可以用该时刻系统运动的一组信息表征，定义系统运动信息的集合为状态。(2)状态变量定义完全表征动态系统时间域运动行为的最小变量组中的元素为状态变量。状态变量组常用符号x1(t),x2(t),…,xn(t)表示，且它们相互独立（即变量的数目最小）。该最小变量组中状态变量的个数称为系统的阶数。“状态”定义的三要素–完全描述。即给定描述状态的变量组在初始时刻(t=t0)的值和初始时刻后(tt0)的输入,则系统在任何瞬时(tt0)的行为,即系统的状态,就可完全且唯一确定。–动态时域行为–最小变量组。即描述系统状态的变量组的各分量是相互独立的。减少变量,描述不全；增加则一定存在线性相关的变量、冗余的变量,毫无必要。【例】确定图示电路的状态变量。RLC电路要惟一地确定t时刻电路的运动行为，除了要知道输入电压u(t)外，还必须给出流过电感上的初始电流i(t0)和电容上的初始电压uC(t0)，或者说uC(t)和i(t)这两个变量可用来完全地描述该电路的运动行为，且它们之间是独立的，故uC(t)和i(t)是该电路的状态变量。(3)状态向量设x1(t),x2(t),…,xn(t)是系统的一组状态变量，把这些状态变量看做向量x(t)的分量，则x(t)就称为状态向量，记为)()()(1txtxtnx系统内部状态x1,x2,…,xnu1u2ury1y2ym……多输入多输出系统(4)状态空间以x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴构成的一个n维欧氏空间，称为状态空间。(5)状态轨迹状态向量的端点在状态空间中的位置代表了某一特定时刻系统的运动状态。系统的状态是时间t的函数。在不同时刻，系统状态不同，则随着t的变化,状态向量的端点不断移动，其移动的路径就称为系统的状态轨迹。x1x2x(t0)x(t1)x(t2)x(t)(6)状态方程描述系统状态变量间或状态变量与系统输入变量间关系的一个一阶微分方程组(连续系统)或一阶差分方程组（离散系统）。【例】建立前图所示RLC电路的状态方程。取电容上的电压uC(t)和电感中的电流i(t)作为状态变量，根据电路原理有)()()(d)(d)(d)(dtututRittiLtittuCcc(6)将式（6）中状态变量的一阶导数放在方程左边，其余项移至方程右边，整理得一阶微分方程组为)(1)()(1d)(d)(1d)(dtuLtiLRtuLttitiCttucc(7)式（7）即为图示电路的状态方程,并将其写成向量-矩阵形式，即)(10)()(110d)(dd)(dtuLtituLRLCttittucc(8)式（8）可简写为)(),(21tixtuxc21xxx21d)(dxxttxx令，记，，uBAxx(9)式中,LRLC110AL10B,(7)输出方程在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量及输入变量间的函数关系式称为系统的输出方程。上例中，若指定uC(t)为输出，且输出一般用y(t)表示，则输出方程为1)()(xtutyc(10)将式(10)写成写成向量-矩阵形式,得)()(01)(titutyc2101xxy或(11)式（11）可简写成Cxy(12)式中,]01[C。(8)状态空间表达式状态方程和输出方程合起来构成对一个动态系统完整的描述，称为动态系统的状态空间表达式。图示RLC电路,若uC(t)为输出,取x1=uC(t),x2=i(t)作为状态变量,则其状态空间表达式为2121210110110xxyuLxxLRLCxx(13)正确理解状态空间的基本概念■系统输出和系统状态在概念上的不同–状态变量是能够完全描述系统内部动态特性行为的变量。–输出变量是仅仅描述在系统分析和综合(滤波、优化与控制等)时所关心的系统外在表现的动态特性,并非系统的全部动态特性。–状态变量比输出变量更能全面反映系统