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《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页考纲解读1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题．考向预测1．以选择、填空题的形式考查线与面、面与面平行关系的判定与性质定理的内容.2．在解答题中，除考查判定与性质定理外，还考查空间想象能力、逻辑推理能力．《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页知识梳理1．直线与平面的位置关系直线a和平面α的位置关系有、、，其中与统称直线在平面外．2．直线和平面平行的判定(1)定义：直线和平面，称这条直线与这个平面平行；平行相交在平面内平行相交没有公共点《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页基础自测1．(2010·山东理)在空间，下列命题正确的是()A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行[答案]D[解析]对于A，平行直线的平行投影可能平行，也可能重合，对于B、C，结合正方体图形可知都是错误的．《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页[答案]A2．能保证直线a与平面α平行的条件是()A．a⃘α，bα，a∥bB．bα，a∥bC．bα，c∥α，a∥b，a∥cD．bα，A∈a，B∈a，D∈b，且AD＝BC[解析]∵bα，a∥b，∴a∥α或aα.∵a⃘α.∴a∥α.《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页3．(2009·福建理，7)设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页[答案]B[解析]本小题主要考查线面平行、面面平行、充要条件等基础知识．易知选项A、C、D推不出α∥β，只有B可推出α∥β，且α∥β不一定推出B，∴B项为α∥β的一个充分而不必要条件，选B.《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页4．已知a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中：①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，bβ，a⊥b，则b⊥α；④若aα，bα，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.其中正确命题的序号是()A．①②③B．①③C．②③D．①②③④《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页[分析]本题是研究直线与平面的平行与垂直关系的问题，解答时注意选择合适的图形来说明，还要能举出反例．[答案]C[解析]①错误，三个平面可以两两相交且交线互相平行；④错误，a，b相交时结论才成立．《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页5．(2009·江苏，12)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题．．．的序号________(写出所有真命题的序号)．《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页[答案]①②[解析]本题主要考查平面间的位置关系．考查学生对知识的掌握程度．①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β是正确的；②由线面平行判定定理知②正确；③由α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，不能推出α和β垂直；③不正确；④直线l与α垂直能够推出l与α内的两条直线垂直，而l与α内的两条直线垂直不能推出直线l与α垂直，∴④不正确．《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页6．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页[答案]M∈线段FH[解析]因为HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面B1BDD1，又平面NHF∩平面EFGH＝FH.故线段FH上任意点M与N相连，有MN∥平面B1BDD1，故填M∈线段FH.《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页7．已知正方体ABCD－A′B′C′D′，求证：平面ACD′∥平面A′BC′.《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页[证明]∵正方体ABCD－A′B′C′D中，AD′∥BC′，CD′∥A′B，又∵AD′∩CD′＝D′，BC′∩A′B＝B，∴平面ACD′平面A′BC′.《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页[例1]已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，给出下列命题：①若m∥α，则m平行于平面α内的任意一条直线②若α∥β，mα，nβ，则m∥n③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β④若a∥β，mα，则m∥β上面命题中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页[分析]根据平行关系和判定方法，逐条确定．[解析]若m∥α，则m平行于过m所作平面与α的交线，并非α内任一条直线，故①错；若α∥β，mα，nβ，则可能m∥n，也可能m、n异面，故②错；《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页[答案]③④[点评]证明线、面平行关系，其主要依据为线面平行的定义、定理、推理等．m⊥αm∥n⇒n⊥αn⊥β⇒α∥β，③正确；α∥βmα⇒m∥β，④正确．故应填③④.《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页若有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，mα，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⃘α，则m∥α《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页[答案]D[解析]如图(1)，β∥α，mβ，nβ，有m∥α，n∥α，但m与n可以相交，故A错；《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页如图(2)，m∥n∥l，α∩β＝l，有m∥β，n∥β，故B错；如图(3)，α⊥β，α∩β＝l，mα，m∥l，故C错．故选D.[点评]D选项证明如下：α⊥β设交线为l，在α内作n⊥l，则n⊥β，∵m⊥β，∴m∥n，∵nα，m⃘α，∴m∥α.《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页[例2]已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页[证明]方法1：如下图，作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，则PM∥QN.《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页∴PMAB＝EPEA，QNCD＝BQBD，∵AP＝DQ，∴EP＝BQ，又∵AB＝CD，EA＝BD，∴PM＝QN.又∵PM∥QN，∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN.综上所述PQ⃘平面CBE，MN平面CBE，PQ∥MN，∴PQ∥平面CBE.《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页方法2：作PR∥BE交AB于点R连接QR∵PR∥BE，∴APPE＝ARRB，又∵两矩形全等DQ＝AP，∴BQ＝PE，∴ARRB＝DQBQ，∴RQ∥AD，∴RQ∥BC，∴平面PQR∥平面EBC，∴PQ∥面EBC《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页[点评]欲证PQ∥平面EBC，一种方法是用判定定理；另一种方法是用面面平行的性质定理．用判定定理时，找出平面内与PQ平行的直线是关键．由APAE＝DQDB可过P、Q作AB的平行线构造平行四边形(如证法1)．《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页也可由直线AE与PQ相交确定一个平面与平面EBC有公共点E，故必有一条交线，连AQ，并延长交BC于G，则只须证明PQ∥EG，也可由异面线段AE，BD上的比例关系，找一条与二者均相交的线段，取相同的比例点构造相似关系得出平行关系，如取AB上点R，使ARAB＝APAE，则平面PRQ∥平面EBC(即证法2)等等．《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页如图所示，ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点．求证：BD1∥平面C1DE.《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页[分析]本题考查线面平行的判定定理及性质定理的应用，考查推理论证能力实践能力及“转化”这一数学思想的应用．“由已知想性质，由求证想判定”是证明该类问题的基本思路．[证明]证法一：连接CD1交DC1于F，连接EF，∵F是CD1中点，E为BC中点，∴EF∥BD1，又EF⊂平面C1DE，BD1⊄面C1DE，∴BD1∥平面C1DE.《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页证法二：取B1C1中点E1，连接D1E1，BE1，则D1E1∥DE，BE1∥C1E，∴D1E1∥平面C1DE，BE1∥平面C1DE.又D1E1∩BE1＝E1，∴平面BD1E1∥平面C1DE.又BD1⊂平面BD1E1，∴BD1∥平面C1DE.[点评]①判定定理证线∥面是最常用方法．②可转化为面∥面⇒线∥面.《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页[例3]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、SC和DC的中点，点P在线段FG上．(1)求证：平面EFG∥平面SDB；(2)求证：PE⊥AC.《走向高考》高考总复习·数学(配北师大版)第八章立体几何初步首页上页下页末页[解析](1)∵E、F、G分别为BC、SC、CD的中点，∴EF∥SB，EG∥BD.∵EF⃘平面SBD，EG⃘平面SBD，∴EF∥平面SBD，EG∥平面SBD.∵EG∩EF＝E，∴平面EFG∥平面SDB.(2)∵B1B⊥底面ABCD，∴AC⊥B1B.又∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∴AC⊥平面B1BDD1，即AC⊥平面SBD.又平面EFG∥平面SBD，∴AC⊥平面EFG.∵PE平面EFG，∴PE⊥AC.《走向