第七章 工具变量、2SLS、GMM

第七章工具变量、2SLS、GMMOLSOLS估计成为一致估计量的前提是解释变量与扰动项不相关（即前定变量假设），否则，无论样本容量多大，估计量也不会收敛到参数真值，这将难以接受。解决方法之一是本章介绍的工具变量法pp复习第三章34－38t01tttttttttttt0tt11CYYCIXGDPYCIX1YIX11违背前定变量假设可以出现在联立方程中，比如＝＋＋，、、、分别表示、＝＋＋消费、投资、净出口。将第一个方程代入第二个方程，经整理可得＝＋＋＋－－ttt01ttYCYOLS可见与相关，因此当单独对＝＋＋进行估计时会碰到解释变量与扰动项相关的情况GDP违背解释变量外生性假定也可以出现在滞后被解释变量作为模型解释变量的情况。例如，消费不仅受收入的影响，还要受到前期消费水平的影响；投资不仅受的影响，也要受前期投资水平的影响。当存在扰动项序列相关时，就会造成解释变量与扰动项相关的情况InstrumentalVariableIV一、工具变量法（，）ttttttwCovwp0pCovw0可以引入工具变量来解决内生变量问题。一个有效的工具变量应满足以下两个条件：（1）相关性：工具变量与内生解释变量相关，即，，为内生解释变量（2）外生性：工具变量与扰动项不相关，即，＝二、工具变量法作为一种矩估计MethodofMomentsMM1、矩估计（，）222222xNExExVarxEx首先以一个例子来说明矩估计方法：假设随机变量，，其中，为待估参数。因为有两个待估参数，故需要使用以下两个总体矩条件：一阶中心矩：＝二阶中心矩：＝＋＝＋用对应的样本矩来替代总体矩条件可得以下联立方程组，求解后即得到期望与方差的矩估计：nii=1n22n222ii=1ii=1nii=1nn222iii=1i=11ˆˆxxn1ˆxx1ˆˆxnn1xxnxxxnx＝＝＝－＝＋其中，＝为样本均值，上面推导中用到：－＝－xfxEfxOLS任何随机向量的函数的期望都被称为总体矩。事实上，也是一种矩估计。利用解释变量与扰动项的正交性，可以得到以下总体矩条件iiiiiiiii1iiiiiiEx0Exyx0ExyExxExxExyExx－＝－＝＝＝（假设可逆）1nn1MMiiiiOLSi=1i=111ˆˆxxxyXXXynnOLS－－以样本矩替代上式中的总体矩，即可得到矩估计：＝＝＝显然这就是估计量2、工具变量法作为一种矩估计i1i1k-1ik-1kikiikikiyxxxxCovx0OLS，假设回归模型为＝＋＋＋＋假设只有最后一个解释变量为内生变量，即，，因此是不一致的。ikiii1k-1wCovxw0Covw0xx假设有一个有效工具变量满足，（相关性），以及，＝（外生性）。由于，，不是内生变量，故可以把自己作为自己的工具变量（因为满足工具变量的两个条件）ii1ik-1ikiiiii1ik-1iki1ik-1ixxxxyxzzzzxxw，，，记解释变量向量，则原模型为＝＋记工具变量向量为。iiiiiigzEgEz0定义。由于工具向量与扰动项正交，故＝＝为总体矩条件或正交条件iiiiiiiii11iiiiiiEz0Ezyx0EzyEzxEzxEzyEzx－－由此可得＝－＝＝＝（假定存在）1nn1IViiiii=1i=11n-1n1n-1n11ˆzxzyZXZynnZzzzZzzz－－以样本矩代替上式中的总体矩，即可得到工具变量估计量：＝＝其中，即下面是工具变量法的大样本性质：iiiiIVIVrEzxkEzxˆˆ定理：若秩条件＝成立（方阵满秩），则在一定的正则条件下，是的一致估计且服从渐近正态分布1IVˆZXZy－证明：抽样误差－＝－11ZXZXZXZ－－＝＋－＝1nnp1iiiiZXi=1i=111zxzSgnn－－＝＝1iii0nnZXiiiii=1i=1EzxEg011Szxgznn－＝＝其中，d2iiiiingN0SSEggEzz与第三章大样本最小二乘法类似的假定和推导，可以证明，，，其中＝IVd1IVZXIV11IViiii1iiˆˆˆnSngN0AVarˆAVarEzxSEzxEzx－－－－进一步，工具变量估计量渐近服从正态分布，即－＝，，其中渐近方差矩阵＝用到为对称矩阵iiiirEzxkwx秩条件＝意味着工具变量与内生解释变量相关，若不相关，则秩条件无法满足。证略izk123阶条件：中至少包含个变量根据是否满足阶条件可分为三种情况：不可识别：工具变量个数少于内生解释变量个数恰好识别：工具变量个数等于内生解释变量个数过度识别：工具变量个数多于内生解释变量个数1IVZXZXˆ－以上介绍的工具变量法仅适用于恰好识别的情况。在过度识别的情况下，不是方阵，不存在无法得到工具变量估计量。若扔掉多余的工具变量将会浪费有用的信息，有效的方法是二阶段最小二乘法三、二阶段最小二乘法kSLS显然，多个工具变量的线性组合仍然是工具变量因为仍满足工具变量的两个条件（相关性与外生性）如果生成工具变量的个线性组合，则又回到恰好识别的情形。那么什么样的线性组合才是最有效率的呢？可以证明在球形扰动项的假设下，由二阶段最小二乘法（2）所提供的工具变量线性组合是所有线性组合中最渐近有效的。这个结论类似于小样本理论中的高斯－马尔可夫定理。1k1Li1inin1ii1122kki1xxLzzOLSxxxi1kixxˆˆˆxPxxPxxPxxZˆyXyPyyXPZZZZZ－第一阶段：将每个解释变量，，分别对所有个工具变量，，作回归，其中，＝，，（注意，不同于第二章对第个观测数据的定义）。相当于将视作被解释变量。得到拟合值＝，＝，，＝即到上的投影（相当于对求回归拟合值＝，即到上的投影）其中，为的投影矩阵。写成矩阵形12k12k1ˆˆˆˆXxxxPxxxPXZZZZX－式＝＝＝1L11IV2IVˆXzzˆXkˆXyXˆˆˆˆˆˆXXXyXXXyˆˆXXPXPXXPPXXPXˆPXXXXPˆˆPPPPyX－－第二阶段：由于是，，的线性组合（参见第一阶段回归），故恰好包含个工具变量。使用为工具变量对原模型＝＋进行工具变量法估计：＝＝后一个等号能成立是由于＝＝＝＝＝，其中，投影矩阵为对称幂等矩阵即＝，＝。因此，可以将视为把对进行OLS回归而得到，故名“二阶段最小二乘法”22SLS2SLSˆˆeyXˆeyX注意，第二阶段回归所得到的残差为－而原方程的残差却是－（这是正确的）IVIV122IVˆOLSˆeeˆˆˆVarsXXsn-k－由于的表达式在形式上完全类似于估计量故在条件同方差的假设下，的协方差矩阵估计量为＝，其中，n112IViiii=1ˆˆˆˆˆˆˆVarXXexxXX－－在存在异方差的情况下，则应使用稳健的协方差矩阵估计量，即＝11IV12SLS111ˆˆXZZZZXPZZZZ2SLSˆXPXXPyXZZZZXXZZZZy－－－－－－将＝（或将）代入的公式，可得的最终表达式：＝＝四、有关工具变量的检验在使用工具变量法时，必须对工具变量的有效性进行检验。如果工具变量非有效，则可能导致估计不一致，或估计量的方差过大。1、检验工具变量与解释变量的相关性ii1iiIV11iiiizxEzxzxEzxˆAVarEzxSEzxzx－－－如果工具变量与内生解释变量完全不相关，则无法使用工具变量法，因为不可逆。如果与仅仅微弱相关，则可认为很大，导致工具变量法估计量的渐近方差＝非常之大。直观上看，由于中仅包含很少与有关的信息，利用这部分信息进行的工具变量法估计就不准确，即使样本容量很大也很难收敛到真实的参数值。这种工具变量IVˆ称为弱工具变量，将使的小样本性质变得很差，且基于大样本理论的统计推断失效判断弱工具变量的方法主要有两种。2112221122OLS22122221Ryxxxxxzz2SLSxxzRxzxx方法之一为使用“偏”。假设回归模型为＝＋＋，其中只有为内生解释变量，为外生解释变量向量。记工具变量为，其中为方程外的工具变量。在的第一阶段回归中，，其包含了内生变量与工具变量相关性的信息，但也可能由于与的相关性造成。2212pxRpartialRR为此，应该使用滤去影响的“偏”（）记为222221OLS21x21OLS2121z21OLSxz2p2xxxxexxzxzxezxeeRz具体操作步骤如下：首先作对回归，，记其残差为，代表中不能由解释的部分；其次，作对回归，，记其残差为，代表中不能由解释的部分；最后对两个残差进行回归，即，所得的判定系数即，若其较小即可认为是弱工具变量2112202xxzerrorH0判断弱工具变量的另一个方法是，在第一阶段回归中，＝＋＋，检验原假设：＝F10F一个经验规则是，如果此检验的统计量大于，则可拒绝“存在弱工具变量”的原假设，从而不必担心弱工具变量问题。在多个内生解释变量的情况下，将有多个如此的第一阶段回归和统计量解决弱工具变量问题的方法是寻找更强的工具变量或若有较多工具变量，可舍弃弱工具变量2、检验工具变量的外生性在恰好识别的情况下，目前公认无法检验工具变量是否与扰动项相关。在这种情况下，只能进行定性讨论或参考专家的意见。0H在过度识别的情况下，则可进行过度识别检验，即检验原假设“：所有工具变量都是外生的”。如果拒绝该原假设，则认为至少某个工具变量不是外生的，与扰动项相关。1k-rk-r1k1mk-rxxrxxmzzmr＋假设前个解释变量，，为外生解释变量而后个解释变量，，为内生解释变量。假设共有个方程外的工具变量，，，其中i,IV1i1k-ri,k-r1i1mimiexxzzerror把工具变量法的残差对所有外生变量（即所有外生解释变量与工具变量）进行以下辅助回归：＝＋＋＋＋＋＋i,IV1m01m2d22ezzHRSargannRm-r将工具变量法的残差视为对扰动项的估计，则“扰动项与工具变量，，无关”的原假设可以写为“：＝＝＝0?。记此辅助回归的可决系数为，则统计量为2m-r00显然，若恰好识别，则＝，无定义，故无法使用此检验3、对解释变量内生性的检验使用工具变量法的前提是存在内生解释变量，这也需要检验。如果找到有效的工具变量，则可以借助工具变量来检验解释变量的内生性OLSOLSBLUE假设存在方程外的工具变量。若所有解释变量都是外生变量，则比工具变量法更有效，因为此时如果满足球型扰动项的假定，则是OLS在这种情况下使用工具变量法，虽然估计量仍然是一致的，但反而会增大估计量的方差。反之，若存在内生解释变量，则是不一致的，而工具变量法是一致的。00IVOLSIVOLS0IVOLSHHOLSˆˆˆˆvectorofcontrastHˆˆOLS0解释变量内生性的检验使用的是“豪斯曼检验”其原假设为“：所有解释变量均为外生变量”如果成立，则与