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1第1章函数、极限与连续教学过程§1--1初等函数一、基本初等函数我们把幂函数y=x(R)、指数函数y=ax(a0且a1)、对数函数y=logax(a0且a1)、三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx和反三角函数y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx统称为基本初等函数．很多时候也把多项式函数y=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0看作基本初等函数．二、复合函数定义1如果y是u的函数y=f(u)，而u又是x的函数u=(x)，且(x)的值域与y=f(u)的定义域的交非空，那么，y通过中间变量u的联系成为x的函数，我们把这个函数称为是由函数y=f(u)与u=(x)复合而成的复合函数，记作y=f[(x)]．学习复合函数有两方面要求：一方面，会把几个作为中间变量的函数复合成一个函数，这个复合过程实际上是把中间变量依次代入的过程；另一方面，会把一个复合函数分解为几个较简单的函数，这些较简单的函数往往是基本初等函数或是基本初等函数与常数的四则运算所得到的函数．例1已知y=lnu,u=x2，试把y表示为x的函数．解y=lnu=lnx2,x(-,0)(0,+)．例2设y=u2,u=tanv,v=2x，试把y表示为x的函数．解y=u2=tan2v=tan22x．复合函数的中间变量可以不限于一个．例3函数y=esinx是由哪些简单函数复合而成的？解令u=sinx，则y=eu，故y=esinx是由y=eu,u=sinx复合而成的．例4函数y=tan3（2lnx+1）是由哪些初等函数复合而成的？解令u=tan（2lnx+1），则y=u3；再令v=2lnx+1，则u=tanv.故y=tan3（2lnx+1）是由y=u3,u=tanv,v=2lnx+1复合而成的．三、初等函数定义2由常数和基本初等函数，经过有限次四则运算和有限次复合而成的，并且能用一个式子表示的函数，称为初等函数．例如：2),1(log,1sin22xxaaayxxyxxy等都是初等函数．例5分解231sinxey．解令u=sin(1+3x2)，得y=eu；再令v=1+3x2，得u=sinv．2故231sinxey是由y=eu,u=sinv,v=1+3x2复合而成的定义3设a,R,0,数集x||x-a|,xR,即实数轴上和a点的距离小于的点的全体，称为点a的邻域，记作U（a,）,点a与数分别称为这邻域的中心和半径．有时用U（a）表示点a的一个泛指的邻域．数集x|0|x-a|,xR,称为点的空心邻域，记作),(0aU．U（a,）=(a-,a+)，).,(),(),(0aaaaaU小结作业3§1--2极限一、数列的极限两个数列：;,21,,81,41,21n(1).,1,,43,32,21nn(2)在数轴上表示．数列(1)中的项无限趋近于0，数列(2)中的项无限趋近于1．定义1当数列{an}的项数n无限增大时，如果an无限地趋近于一个确定的常数A，那么就称这个数列存在极限A，记作nnalim=A．读作“当n趋向于无穷大时，an的极限等于A”．符号“”表示“趋向于”，“”表示“无穷大”，“n”表示“n无限增大”．Aannlim有时也记作当n时，anA，或anA,(n)．若数列{an}存在极限，也称数列{an}收敛；若数列{an}没有极限，则称数列{an}发散．注意：(1)一个数列有无极限，应该分析随着项数的无限增大，数列中相应的项是否无限趋近于某个确定的常数，如果这样的数存在，那么这个数就是所论数列的极限，否则数列的极限就不存在．(2)常数数列的极限都是这个常数本身．二、函数的极限自变量x的变化过程：(1)x的绝对值|x|无限增大(记作x)；(2)x无限接近于某一值x0，或者说x趋向于x0(记作xx0)．1.当x时函数f(x)的极限x包含以下两种情况：(1)x取正值，无限增大，记作x+；(2)x取负值，它的绝对值无限增大(即x无限减小)，记作x-．若x不指定正负，只是|x|无限增大，则写成x．例1讨论函数xy1+1当x+和x-时的变化趋势．解作出函数xy1+1的图像．当x+和x-时，xy1+11，因此当x时，xy1+11．定义如果当|x|无限增大(即x)时，函数f(x)无限地趋近于一个确定的常数A，那么就称f(x)当x时存OxOx21418116121324354111xyO14在极限A，称数A为当x时函数f(x)的极限，记作类似地，如果当x+(或x-)时，函数f(x)无限地趋近于一个确定的常数A，那么就称f(x)当x+(或x-)时存在极限A，称数A为当x+(或x-)时函数f(x)的极限．记作)lim(limAxfAxfxx或．例2作出函数y=(21)x和y=2x的图像，并判断下列极限：(1)xlim(21)x；(2)xlim2x．解(1)xlim(21)x=0；(2)xlim2x=0．例3讨论下列函数当x时的极限：(1)y=1+21x；(2)y=2x．解：(1)当x+时，y=1+21x1；当x-时，y=1+21x1．因此，当|x|无限增大时，函数y=1+21x无限地接近于常数1，即xlim(1+21x)=1．(2)当x+时，y=2x+；当x-时，y=2x0．因此，当|x|无限增大时，函数y=2x不可能无限地趋近某一个常数，即xlim2x不存在．结论：当且仅当xlimf(x)和xlimf(x)都存在并且相等为A时，xlimf(x)存在为A，即xlimf(x)=Axlimf(x)=xlimf(x)=A．2.当xx0时，函数f(x)的极限xx0包含以下两种情况：(1)x0x表示x从大于x0的方向趋近于x0；(2)x0x表示x从小于x0的方向趋近于x0．1xyO1y=2xy=(21)x1xyOy=1+21x5记号xx0表示x无限趋近于x0，对从哪个方向趋近没有限制．例4讨论当x2时，函数y=x+1的变化趋势．解作出函数y=x+1的图像．不论x从小于2的方向趋近于2，或者从大于2的方向趋近于2，函数y=x+1的值总是随着自变量x的变化从两个不同的方向愈来愈接近于3，所以说当x2时y=x+13．例5讨论当x1时，函数y=112xx的变化趋势．解作出函数y=112xx的图像．函数的定义域为(-,1)(1,)，在x=1处函数没有定义，x不论从大于1或从小于1两个方向趋近于1时，函数y=112xx的值是从两个不同方向愈来愈接近于2的．我们研究当x趋近于1函数y=112xx的变化趋势时，并不计较函数在x=1处是否有定义，而仅关心函数在x=1的邻近（x),1(0U）的函数值的变化趋势，也即我们认为在x1时隐含一个要求：x1．因此，当x1时,y=112xx2．定义如果当xx0,xx0时，函数f(x)无限地趋近于一个确定的常数A，那么就称当xx0时f(x)存在极限A；数A就称为当xx0时，函数f(x)的极限，记作Axfxx0lim．例6求下列极限：(1)f(x)=x，0limxxf(x)；(2)f(x)=C，0limxxf(x),(C为常数)．解(1)因为当xx0时，f(x)=x的值无限趋近于x0，所以有0limxxf(x)=0limxxx=x0．(2)因为当xx0时，f(x)的值恒等于C，所以有0limxxf(x)=0limxxC=C．由此可见，常数的极限是其本身．规定：(1)如果x从大于x0的方向趋近于x0(即x0x)时，函数f(x)无限地趋近于一个确定的常数A，那么就称f(x)在x0处存在右极限A，称数A就称为当xx0时，函数f(x)的右极限，记作Axfxx0lim；(2)如果x从小于x0的方向趋近于x0(即x0x)时，函数f(x)无限地趋近于一个确定的常数A，那么就称f(x)在x0处存在左极限A，称数A就称为当xx0时，函数f(x)的左极限，记作Axfxx0lim．2xyOy=x+111232xyOy=112xx11236例7已知函数0,,0,13xxxxxf，讨论当x0时的极限．解11limlim00xxfxx，0limlim300xxfxx，xfxfxx00limlim．因而当x0时f(x)的极限不存在．一般地，xfxx0lim=AAxfxfxxxx00limlim．例8已知2,2,2,xxxxf，求xfx2lim．解因为2limlim22xxfxx，22limlim22xxxf，即)(limlim22xfxfxx=2，所以2lim2xfx．例9已知f(x)=xx||，xfx0lim是否存在？解当x0时，f(x)=xxxx||=1；当x0时，f(x)=xxxx||=-1，所以函数可以分段表示为,0,1,0,1xxxf于是1lim,1lim00xfxfxx，即xfxfxx00limlim，所以xfx0lim不存在7§1--3极限的四则运算和、差、积、商的极限运算法则：如果0limxxf(x)=A，0limxxg(x)=B，那么1．0limxx[f(x)g(x)]=0limxxf(x)0limxxg(x)=AB；2．0limxx[f(x)g(x)]=0limxxf(x)0limxxg(x)=AB；特别地，0limxxCf(x)=C0limxxf(x)=CA，(C为常数)；3．0,limlimlim000BBAxgxfxgxfxxxxxx．说明：1．上述运算法则对于x等其他变化过程同样成立；2．法则1,2可推广到有限个函数的情况，因此只要x使函数有意义，例如下面的等式也成立：0limxx[f(x)]n=[0limxxf(x)]n，0limxx[f(x)]=[0limxxf(x)],Q．极限运算“0limxx”与四则运算(加、减、乘、除)可以交换次序(其中除法运算时分母的极限必须不等于零）．例1求2limx(x2+2x-3)．解：2limx(x2+2x-3)=2limxx2+2limx2x-2limx3=[2limxx]2+22limxx-3=22+22-3=5．例2求652lim221xxxx．解652lim221xxxx=74)6(lim)52(lim2121xxxxx．例3求11lim21xxx．解11lim21xxx=)1(lim1)1)(1(lim11xxxxxx=2．例4求354lim4xxx．解354lim4xxx=)3)5)(35()3)5)(4(lim4xxxxx=)3)5(lim4)3)5)(4(lim44xxxxxx=5lim4xx+3=6．8例5求43212lim22nnnnn．解43212lim22nnnnn=21432lim121lim432121lim2222nnnnnnnnnnn．例6求12352lim32xxxxx．解12352lim32xxxxx=030123512lim3232