概率论与数理统计：习题

课件制作：应用数学系概率统计课程组概率论与数理统计第五章1.切贝雪夫不等式2.中心极限定理的应用例1某大卖场某种商品价格波动为随机变量.设第i天(较前一天)的价格变化为iX()0,()0.04.iiEXDX12,,,nXXX独立同分布,1,2,,in01nniiYYX为(元/斤)为现在的020Y价格.①用切贝雪夫不等式估计30(1822)PY②再用中心极限定理估计30(1822)PY第n天的价格，解①303001()()()20iiEYEYEX303001()()()1.2iiDYDYDX303030(1822)(()2)PYPYEY301()/40.7DY②30(1822)PY30{1.826(20)/1.21.826)PY2(1.826)10.932.(应用题2)备一笔现金,已知这批债券共发放了500张每张须付本息1000元,设持券人(一人一券)银行为支付某日即将到期的债券须准到期日到银行领取本息的概率为0.4,问银行于该日应准备多少现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换.解设1第i个持券人到期日来兑换0第i个持券人到期日未兑换iX则到期日来银行兑换的总人数为5001iiXX设银行需准备1000m元,兑换总额为,X1000,)4.0,500(~BX200)(XE.120)(XD由中心极限定理999.0120/)200()(mmXP.96.233m所以银行需准备23.4万元.例2一本书有1000000个印刷符号,排版时每个符号被排错的概率为千分之一.校对时,每个排版错误被改正的概率为0.99，求在校对后错误不多于15个的概率.解设iX1第i个印刷符号被排错0第i个印刷符号未排错则总的被排错的印刷符号个数6101iiXX)001.0,10(~6BX且1000)(XE.999)(XDY设校对后错误个数为,XYE01.0)(.0099.0)(XYD10)(01.0)01.0()]([)(XEXEYEEYE.9990099.0)(0099.0)(22XDYD则近似有)9990099.0,10(~2NY由中心极限定理于是.1)98.15(9990099.01015)15(YP)01.0,(~XBY则解令1第i个符号被排错校对后仍错0其他iX由于排版与校对是两个独立的工作,因而,10)99.01(001.0)1(5iXP5101)0(iXP510)(iXE.)101(10)(55iXD))101(10,10(~5BY设校对后错误个数为,则6101iiXY由中心极限定理)101(10100)101(101015)150(55YP1010/5.9422.0116.358.1例3一保险公司有10000人投保，每人每年付12元保险费，已知一年内投保人死亡率为0.006.若死亡公司给死者家属1000元.求(1)保险公司年利润为0的概率；(2)保险公司年利润大于60000元的概率；解X设为投保的10000人中一年内死亡的人数.则)006.0,10000(~BX,60)(XE.64.59)(XD利用泊松定理，取60np(1)设保险公司年利润为,则Y010001210000XY120X)120()0(XPYP)120()0(XPYP0!1206060120e9988012012010000994.0006.0C(2)由中心极限定理)60000(YP64.5960)0()600(XP4738.01)94.1()0()6000010001210000(XP应用题3电视台作节目A收视率的调查.在每天在看电视播出时,随机地向当地居民打电话询问是否在看电视.若在看电视，再问是否在看节目A.设回答在看电视的居民户数为n.问为保证以95%的概率使调查误差在10%之内,n应取多大？每晚节目A播出一小时，调查需同时进行，设每小时每人能调查20户，居民每晚看电视的概率为70%，电视台需安排多少人作调查.解nX设为回答看电视的居民中在收看要估计的收视率,要求n,使)1.0/(pnXPn)]10/(/)([pqnnpqnpXPn节目A的人数,则,其中p为),(~pnBXn96.1)10/(pqnpq现在的问题是如何确定.pqn26.19.95.0)]10/([pqn设pqpppf)1()(令021)(ppf当时,达到最大值.2/1p4/1)(pfnpq04.96)4/1(6.196.1922所以取就能满足要求.97n1397.097720140电视台需安排7人作调查.取140.例4假设是来自总体X的),,,(21nXXXkkaXE)(简单随机样本,已知)4,3,2,1(k证明当n充分大时随机变量niinXnZ121近似服从正态分布,并指出其分布参数证依题意独立同分布,则nXXX,,,2122221,,,nXXX也独立同分布.,)(22aXEi,)()()(2242242aaEXXEXDiiiniinaXEnZE122)(1)(niinaanXDnZD122422)(1)(1)(由中心极限定理)(/)(lim2242xxnaaaZPnn所以当n充分大时naaaNZn/)(,~2242近似标准正态分布函数