概率论与随机过程课件 2.4

在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.42d求截面面积A=的分布.例如，已知圆轴截面直径d的分布，引言又如已知t=t0时刻噪声电压V的分布，求功率W=V2/R(R为电阻）的分布等.t0t02.4随机变量的函数的分布这类问题一般的提法是：若X是随机变量，求Y=g(X)的分布(其中y=g(x)是x的一个实值函数)。为了求Y的分布，首先我们要理解Y是一个怎样的随机变量，设X是定义在样本空间Ω={ω}上的随机变量，那么Y=Y(ω)=g(X(ω))，由此可见Y亦是定义在Ω上的随机变量，它是经过g(.)与X(.)复合而成的。设X是离散型随机变量，则Y=g(X)一般也是离散型随机变量。此时，只需由X分布律求得Y的分布律即可。X-10123P2/101/101/103/103/10求(1)Y=X-1;(2)Y=-2X2的分布律例:设离散型随机变量X的分布律为一、离散型随机变量函数的分布解:由X的分布律可得下表P2/101/101/103/103/10X-10123X-1-2-1012-2X2-20-2-8-18由此可见(1)Y=X-1的所有可能取值为-2,-1,0,1,2，且P{Y=-2}=P{X=-1}=2/10;P{Y=-1}=P{X=0}=1/10；P{Y=0}=P{X=1}=1/10;P{Y=1}=P{X=2}=3/10；P{Y=2}=P{X=3}=3/10。故得Y=X-1的分布律为Y-2-1012P2/101/101/103/103/10(2)Y=-2X2的所有可能取值为-18,-8,-2,0;且P{Y=-18}=P{X=3}=3/10;P{Y=-8}=P{X=2}=3/10；P{Y=-2}=P{X=1}+P{X=-1}=1/10+3/10=2/5;P{Y=0}=P{X=0}=1/10；故得Y=-2X2的分布律为Y-18-8-20P3/103/102/51/10一般地，我们先由X的取值xk，k=1，2，…求出Y的取值yk=g(xk)，k=1，2…①如果诸yk都不相同，则由P{Y=yk}=P{X=xk}可得Y的分布律；②如果诸yk中有某些取值相同，则把相应的X的取值的概率相加。二、连续型随机变量函数的分布yxgXlXyYdxxfdxxflXPyFy)()()(再由FY(y)进一步求出Y的概率密度)(yFyfYY设X为连续型随机变量，具有概率密度fx(x)，又Y=g(X)，在大部分情况下Y也是连续型随机变量，若Y是连续型随机变量，考虑求出Y的概率分布。1．一般方法可先求出Y的分布函数FY(y)：因为FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}，设ly={x|g(x)≤y}则例1:设随机变量X具有概率密度其他0408)(xxxfX求Y=2X+1的概率密度.解:先求Y的分布函数21)(21}12{}{)(yXYdxxfyxPyxPyYPyF计算的关键在于确定积分区间ly，即解不等式g(x)≤y得出x的解区间ly。这种方法我们称之为分布函数法。当1≤y9时，0(y-1)/24，64)1(8)(2210ydxxyFyY当y≥9时FY(y)=1,919164)1(10)(2yxyyyFY所以由此可得Y的概率密度为其他091321)(yyyfY当y1时，(y-1)/20FY(y)=0y=2x+1xy1409例2:设随机变量X具有概率密度fX(x)求Y=X2的概率密度。解:先求Y的分布函数FY(y)。由于Y=X2≥0，故当y≤0时FY(y)=0。当y0时，有yyXYdxxfyXyPyXPyF2于是得Y的概率密度为0002yyy/yfyfyfXXY例如：设X~N(0，1)，其概率密度为xex/x2221则Y=X2的概率密度为00021221yyeyyf/y/Y此时称Y服从自由度为1的χ2分布。当函数y=g(x)可导且为严格单调函数时，我们有下面一般结果其他0yyhyhfyfXY设随机变量X具有概率密度fX(x)，又设函数g(x)处处可导且恒有g(x)0(或恒有g(x)0)，则Y=g(X)的概率密度为定理其中x=h(y)为y=g(x)的反函数，g,gmax,g,gmin2.特殊方法证：我们只证g(x)0的情况。此时g(x)在(-∞,+∞)严格单调增加，它的反函数h(y)存在，且在(α，β)严格单调增加，可导，现在先来求Y的分布函数FY(y)。yhXdxxf因为Y=g(X)在(α，β)取值，故当y≤α时，FY(y)=P{Y≤y}=0；当y≥β时，FY(y)=P{Y≤y}=1；当αyβ时，FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{X≤h(y)}于是得Y的概率密度其他0)()()(yyhyhfyfXY合并两式，即得证。若ƒ(x)在有限区间[a，b]以外等于零，则只需假设在[a，b]上恒有g(x)0(或恒有g(x)0)，此时)}(,)(max{,)}(,)(min{bgagbgag若g(x)0,同理可证其他0)()()(yyhyhfyfXY例3:设随机变量XN(μ，σ2),试证明X的线性函数Y=aX+b(a≠0)也服从正态分布。证明：X的概率密度为xexfxX222/21现在y=g(x)=ax+b，由这一式子解得x=h(y)=(y-b)/a由定理得Y=aX+b的概度密度为yabyfayfXY)(1)(yeaeayfaabyabyY2222)(2)(221||121||1)(即所以Y=aX+b~N(aμ+b,(a)2))1,0(~NXY特别，在上例中取a=1/,b=-μ/得例4:设电压V=AsinΘ，其中A是一个已知的正常数，相角Θ是一个随机变量，在区间(-/2,/2)服从均匀分布，试求电压V的概率密度。解:v=g(θ)=Asinθ在（-/2,/2）上恒有g(θ)=Acosθ0且有反函数θ=h(v)=arcsin(V/A)，221)(vAvh又Θ的概率密度为其他0221)(f于是，由公式：其它01)(22AvAvAvfV若在上题中Θ在(0，π)上服从均匀分布，因为此时v=g(θ)=Asinθ在(0，π)上不是单调函数，上述定理失效，此时方法如何？例4设X在[0,π]服从均匀分布，求：Y=sinX的分布函数FY(y).解：（1）其他0),0(1)(:xxfX（2）y=sinx在[0,π]不单调，但可分为两单调区间（0,π/2）(π/2,π)（3）求：FY(y)=P{Y≤y}当0≤y≤1时：FY(y)=P{sinXy}=P{0≤X≤arcsiny}+P{-arcsiny≤X≤}x1=arcsinyyy0xπ/2πxx2=π-arcsiny其他求01012])([)(:)()4(2yyyFyyYYYyyydxdxyyarcsin2arcsin1arcsin111arcsinarcsin01110arcsin200)(yyyyyFY小结：求随机变量函数的分布的方法：1.设离散型随机变量X的分布律为P{X=xi}=pi，i=1,2,…,n,…又y=f(x)是x的连续函数，则Y=f(X)是随机变量，其分布律为P{Y=f(xi)}=pi，i=1,2,…,n,…若某些f(xi)相等，将它们作适当并项即可。2.设连续型随机变量X的密度函数为X(x),y=f(x)连续,求Y=f(X)的密度函数的方法有三种：（1）分布函数法；（2）若y=f(x)严格单调，其反函数有连续导函数，则可用公式法；（3）若y=f(x)在不相重叠的区间I1,I2,…上逐段严格单调，其反函数分别为g1(y),g2(y),…,且g1(y),g2(y),…,均为连续函数，则Y=f(X)是连续型随机变量，其密度函数为ygygygygyXXY2211