概率论与随机过程课件 4.1

第四章随机变量的数字特征引言在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.4.1数学期望问题：随机变量的均值应如何定义？例如，甲、乙两射手，各射击十次，X,Y分别表示他们射中的环数，如表：X甲8910击中次数316P0.30.10.6Y乙8910击中次数253P0.20.50.3评价这两射手的水平？解：现求在这十次射击中，平均击中的环数：;3.9106101938X1.9103105928Y结果：甲平均击中的环数9.3,乙平均击中的环数9.1,甲水平较高。根据概率的统计定义作分析：击中次数Ni与N的比值，是这N次试验中射中环数的频率，按概率的统计定义，当N很大时,Ni/N接近于射中环数的概率。这是以频率为权的加权平均则对X作一系列观察(试验)，所得X的试验值的平均值也是随机的.由此引入离散型r.vX的数学期望的定义如下:1kkkpx对于一个随机变量，若它可能取的值是x1,x2,…,相应的概率为p1,p2,…,但是，如果试验次数很大，出现xk的频率会接近于pk，于是可期望试验值的平均值接近1.离散型随机变量的数学期望1定义设离散型随机变量X的分布律为P{X=xk}=pk，k=1,2,…,若级数绝对收敛，则称此级数的和为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即1kkkpx1)(kkkpxXE注释(1)X的期望E(X)是一个数，它形式上是X的可能值的加权平均，其权重是其相应的概率，实质上它体现了X取值的真正平均，为此我们又称它为X的均值。因为它完全由X的分布所决定，所以又称为分布的平均值。这是以概率为权的加权平均(2)E(X)作为刻划X的某种特性的数值，不应与各项的排列次序有关。所以，定义中要求级数绝对收敛。例1:设有某种产品投放市场，每件产品投放可能发生三种情况：按定价销售出去，打折销售出去，销售不出去而回收。根据市场分析，这三种情况发生的概率分别为0.6，0.3，0.1。在这三种情况下每件产品的利润分别为10元，0元，－15元（即亏损15元）。问厂家对每件产品可期望获利多少？解:设X表示一件产品的利润（单位元），X是随机变量，且X的分布律为X100-15P0.60.30.1依题意，所要求的是X的数学期望E(X)=10×0.6+0×0.3+(-15)×0.1=4.5(元)例2:在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽验N个人的血，可以用两种方法进行。(1)将每个人的血都分别去验，这就需验N次，(2)按k个人一组进行分组，把从k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，就说明k个人的血都呈阴性反应，这样，这k个人的血就只需验一次，若呈阳性，则再对这k个人的血液分别进行化验，这样，这k个人的血总共要化验k+1次。假设每个人化验呈阳性的概率为p，且这些人的试验反应是相互独立的。试说明当p较小时，选取适当的k，按第二种方法可以减少化验的次数。并说明k取什么值时最适宜。解:各人的血呈阴性反应的概率为q=1-p。因而k个人的混合血呈阴性反应的概率为qk，k个人的混合血呈阳性反应的概率为1-qk。设以k个人为一组时，组内每人化验的次数为X，则X是一个随机变量，其分布律为X1/k(k+1)/kPqk1-qkX的数学期望为:kqqkqkXEkkk111)11(1)(即N个人平均需化验的次数为:N•[1-qk+(1/k)]。由此可知，只要选择k使:1-qk+(1/k)1，则N个人平均需化验的次数N，当p固定时，选取k使得L=1-qk+(1/k)小于1且取到最小值，这时就能得到最好的分组方法。例如，p=0.1，则q=0.9，当k=4时,L=1-qk+(1/k)取到最小值。此时得到最好的分组方法。若N=1000，此时以k=4分组，则按第二方案平均只需化验594419.0110004这样平均来说，可以减少40%的工作量。2几种典型的离散型随机变量的数学期望i.X服从参数为p的(0,1)分布：E(X)=0×(1-p)+1×p=p；ii.若Xb(n,p),则E(X)=np；证明：X的分布律为.,....,2,1,0}{nkqpCkXPknkknnkknknkknkknqpknknkqpCkXE10)!(!!)(nkknkqpknknnp11)!(!1!1.)(11111npqpnpqpCnpnnkknkkniii.若Xπ(λ)，则E(X)=λ。证明：X的分布律为,.....2,1,0!}{kkekXPk!1!)(10kekekXEkkkkeekekk11!1设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),在数轴上取很密的分点x0x1x2…,则X落在小区间[xi,xi+1)的概率是1)(iixxdxxfiixxf)(小区间[xi,xi+1)阴影面积近似为iixxf)())((1iiixxxf小区间[Xi,Xi+1)由于xi与xi+1很接近,所以区间[xi,xi+1)中的值可以用xi来近似代替.iiiixxfx)(这正是dxxfx)(的渐近和式.阴影面积近似为iixxf)(近似,iixxf)(因此X与以概率取值xi的离散型r.v该离散型r.v的数学期望是由此启发我们引进如下定义.2．连续型随机变量的数学期望1定义设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分绝对收敛，则称此积分的值为随机变量X的数学期望，记为E(X)。即dxxxf)(dxxxfXE)()(例1．若XN(µ,σ2)，求E(X)。解：X的概率密度为：22221)(xexfdxexdxxxfXEx22221)()(，令tx.221)(2222dtedtetXEtt特别地，若XN(0,1)，则E(X)=0。2几个常见连续型随机变量的数学期望i.若XU(a,b),则E(X)=(a+b)/2.证：X的概率密度为),(0),(1)(baxbaxabxf21)()(badxabxdxxxfXEbaii.若XN(µ,σ2)，则E(X)=μ。iii.若X服从指数分布，则E(X)=1/。000)(xxexfx1)()(0dxexdxxxfXEx证：3随机变量函数的数学期望1.问题的提出：设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望.那么应该如何计算呢？一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来.一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的.那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？3.随机变量的函数的数学期望定理设Y是随机变量X的函数:Y=g(X)(g是连续函数)，(1)X是离散型随机变量，它的分布律为P{X=xk}=pk，k=1，2，…，若绝对收敛，则有1kkkpxg1))(()(kkkpxgXgEYE(2)X是连续型随机变量，它的概率密度为f(x)，若绝对收敛，则有dxxfxgXgEYE)()()]([)(注释A.在计算随机变量的函数Y=g(X)的期望时，我们可以先确定Y=g(X)的分布进而计算函数Y的期望E(Y)。但由前两章的讨论可以看出，确定Y=g(X)的分布并不容易。因此在计算随机变量函数的期望时，我们一般利用定理的结论去计算。定理的重要意义在于当我们求E(Y)时，不必知道Y的分布而只需知道X的分布就可以了。B.在计算一些分布较复杂甚至难以确定的随机变量的期望时，如能将X表示成有限个简单随机变量之和，那么利用期望的性质计算就可大大简化我们的问题。这也是计算期望的一个技巧。C.上述定理还可以推广到二个或二个以上随机变量的函数情况。例如，设Z是随机变量X，Y的函数Z=g(X，Y)(g是连续函数)，那么，Z也是一个随机变量，若二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)则有dydxyxfyxgYXgEZE),(),()],([)(这里设上式右边的积分绝对收敛，又若(X，Y)为离散型随机变量。其分布律为P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,….则有11),()),(()(jijjiipyxgYXgEZE这里设上式右边的级数绝对收敛。例1:有5个相互独立工作的电子装置，它们的寿命Xk(k=1，2，3，4，5)服从同一指数分布，其概率密度为(θ0)0001)(/xxexfx(1)若将这5个电子装置串联工作组成整机，求整机寿命N的数学期望；(2)若将这5个电子装置并联工作组成整机，求整机寿命M的数学期望。解:Xk(k=1，2，3，4，5)的分布函数为0001)(/xxexFx(1)由第三章知N=min(X1,X2,X3,X4,X5)的分布函数为00051)](1[1)(/55minxxexFxFx因而N的概率密度为0005)(/5minxxexfx于是N的数学期望为55)()(0/5mindxexdxxxfNEx由第三章知，M=max(X1，X2，X3，X4，X5)的分布函数为0001)]([)(5/5maxxxexFxFx因而M的概率密度为00015)(/4/axxxeexfxxmM的数学期望为6013715)()(0/4/maxdxeexdxxxfMExx例2:设风速V在（0，a）上服从均匀分布，即具有概率密度：其它001)(avavf又设飞机翼受到的正压力Ｗ是V的函数：Ｗ＝kV2(k0，常数)，求Ｗ的数学期望。解:由公式有2022311)()(kadvavkdvvfvkWEa例3:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为其它010,10),(yxyxyxf试求XY的数学期望。解:由公式得dydxyxxyfXYE),(][31)(1010dydxyxxy注对任意的随机变量，其数学期望不一定存在。例如(1)随机变量X的取值为,2,12)1(kkxkkk,2,121kpkk易验证满足分布律的两个条件，但,2,121kpkk发散。所以E(X)不存在。111|)1(|21|2)1(|||kkkkkkkkkkkpx(2)随机变量X的概率密度为(柯西分布)。2111)(xxf发散。因为0202|)1ln(1112)(||xdvxxdxxfx所以E(X)不存在。4数学期望的性质数学期望具有以下几条重要性质(设以下所遇到的随机变量的期望是存在的)：(1)C为常数,则有E(C)=C；(2)设X是一个随机变量，C常数，则有E(CX)=CE(X)；(3)设X，Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况:)()()()(2121nnXEXEXEXXXE(4)设X，Y是相互独立的随机变量，则有:E(XY)=E(X)E(Y)这