概率论习题课

Exercises习题课1.期末考试采用半开卷的形式，时间是2个小时，要求学生只能带课本（第三版或四版），同时书里不能夹带有任何的纸张字条，除了课本以外的任何资料都不能带（不能在考试中使用），违反者视为作弊。2.考试时间在1月3号，具体时间地点请学生关注研究生院通知。例1：设A，B为相互独立，数字期望均为0、方差均为1的随机变量，令X(t)=A+Bt，求X(t)的均值、方差和相关函数。()[()]()()0;XtEXtEAtEB22222()[()]()()()1;(,)[()()]()()()()()1XXtDXtDABtDAtDBtRtsEXtXsEXtsEBtsEAEBts解：2121例2：设g(t)为下图所示的以周期为L的矩形波，η的分布列为η1-1Pi令X(t)=ηg(t)，tR1，求随机过程X(t)，tR1的均值、方差和相关函数。11()[()][()]()[(1)]022XtEXtEgtgt22222()[()][()]()()();(,)[()()]()()()()()XXtDXtDgtgtEgtRtsEgtgsgtgsEgtgs解：1,[0,]1,[0,]ttt在内科叫次数为偶数在内呼叫次数为奇数)(,!)()(1RtktetPktk例3：设且在时间(t0,t0+t)内发生k次呼叫的概率与t0无关并且为其中λ0，k=0，1，2，…。求：（1）P{在（0,t）呼叫次数为偶数}，（2）ξt的均值函数;(3)ξt的相关函数。ttttetptpttcosh3}!4)(!2)(1{)()(4220ttttttteeetteteteE2)sinh(coshsinh)1(cosh1)(||22121),(ttXettR解：（1）P{在[0，t]内发生偶数次“随机点”}（2）显然（3）例4：已知：随机过程x(t)的自相关函数Rx(t,s)=2cos(),2ats其中a为常数，求：Y(t)=x(t+a)-x(t)的自相关函数。(,)[()()][()()][()()]YRtsEYtYsEXtaXtXsaXs)cos()cos1(cos)cos()cos()cos(2)cos(2)cos(),(),(),(),(222222staaastastasatasatastaastRsatRstRasatRXXXX解：例5已知随机过程X(t)的均值μx(t)=t，协方差函数Cx(s,t)=st，试求Y(t)=X(t)+sint的均值和方差函数。(),0{(5)4};{(5)4,(7.5)6,(12)9};{(12)9(5)4};(4)[(5)],[(5)],[(5),(12)].NttPNPNNNPNNENDNCovNN例6：设{}服从强度为的泊松过程，求(1)(2)(3)45(1)P54(5)4!Ne解：4522.534.5(2)P54,(7.5)6,(12)9P54,(7.5)(5)2,(12)(7.5)3[(5)4!][(2.5)2!][(4.5)3!]NNNNNNNNeee{(5)4(12)9}PNN问题：求(4)E[N(5)]=5,55,[(5),(12)]55.DNCovNNDN57(3)[(12)9(5)4][(12)(5)5(5)4][(12)(5)5](7)5!PNNPNNNPNNe49449551.1212C答案：()(),2,01,,A~(),0,(0,2)XtAcosttxxAfx例7：证明:正弦波其中是常数与相互独立其它在上均匀分布,是平稳过程;并判断其是否为各态历经过程.1212(,)[()()]XRttEXtXt:()[()]XtEXt证明EAcost()[]0EAEcost212[][()()]EAEcostcost212111()cos.()44costttt221201[]()()2EAcostcostd()Xt所以,是平稳过程.12TTTXtlimAcostdtT0[()]TAcossinTlimEXtT2TAsinTsinTlimT将A,看作定值＝＝＝＝().Xt即的均值具有各态历经性3.2泊松过程的性质)()()()]([)]([)]()([)]()([)]([)]([))]()())(()([(]))([())]()()(([))]()()()(([)()]()([),(1002222tsssstssNEsNDsNtNENsNEsNEsNDsNtNNsNEsNEsNtNsNEsNsNtNsNEtstNsNEtsRN不妨假设•例8设{Xn,n≥0}是具有三个状态0，1，2的齐次马氏链，一步转移概率矩阵为0123/41/401/41/21/403/41/4P=012初始分布Pi（0）=P{X0=i}=1/3,i=0,1,2.试求:(i)P{X0=0,X2=1};(ii)P{X2=1}•解先求出二步转移概率矩阵•于是(i)P{X0=0,X2=1}=P{X0=0}p{X2=1|X0=0};=p0(0)p01(2)=(ii)由(1.7)式，p1（2)=P{X2=1}=p0(0)P01(2)+P1(0)P11(2)+P2(0)P21(2)=0125/85/161/165/161/23/63/169/161/4P(2)=P2=012155316483/41/401/41/21/403/41/43/41/401/41/21/403/41/4=241116921165313144111424314401200120P002424012340,00,1,21030,1,210,1,121,1|030,0,0,0|0niXnpPXiiPXXXPXXXPXXXXX例9：设是具有三个状态的齐次马氏链，一步转移概率矩阵为：初始分布试求：CK解：由方程可得二步转移概率矩阵为：55181616253116216391161642PP0240011155110,1,1022316296PXXXpPP1011111100112211037111111142244444256PPPPPPPP240011155121,1|02216232PXXXPP1234030,0,0,0|0PXXXXX从0出发，经4步首次回到0状态例10设，n=1，2，…是独立随机变量序列，令，n=2，3，…。证明：，n=1，2，…是一个离散时间马氏过程。nX111,nnnYXYXYnY},,,|{112211nnnnaYaYaYaYP)1(}{},,,{},,,{},,,{},,,{1211212111212111122112211nnnnnnnnnnnnnaaXPaaXaaXaXPaaXaaXaXPaYaYaYPaYaYaYP}|{11nnnnaYaYP1111111111{,}{,}{}{}{}(2)nnnnnnnnnnnnnnnnPYaYaPXaaYaPYaPYaPXaa证明：由于而由（1）及（2）即证Y(t)具有马氏性。}|{122nnXXP（1）求{,}nXnT{0,1,2}I1214142301335250P}|,,,,{202021054321XXXXXXP六、设是一个齐次马尔可夫链，其状态空间，一步转移概率矩阵为（2）求（3）证明此链具有遍历性,并求其极限分布17/309/405/24(2)8/153/101/617/303/2017/90PPP2{2|1}1/6nnPXX解：（1）由马尔科夫与齐次性，可得（2）因为所求为二步转移概率，先求二步转移概率矩阵故。102132(1|2)(2|1)(0|2)PPXXPXXPXX4354(2|0)(0|2)PXXPXX2112200220(1)(1)(1)(1)(1)ppppp33321153545250(3)由(2)可知，此马氏链是遍历的。11232133121231/22/33/5,1/42/5,1/41/3,1.求解得1230.6824147,0.1102362,0.2073491七、设随机过程x(t)=cos(λt+Φ)，其中Φ),(~U证明：x(t)是宽平稳过程。，λ是常数。)][cos()]([)(tEtXEtX)(cos21]2cos[21)(cos21[)]cos()[cos(),(0cos21sincos21cos][sinsin][coscosstststEstEstRdtdttEtEX)(tX证明：则为常数，RX(t,s)仅与τ=t-s有关，因而X(t)是平稳过程。