概率论何书元编著答案习题一解答

习题一解答},2,1{jAj},2,1{jBj1.设是事件列，求互不相容事件，使得11jjjjBA，且.jjAB,0A,10jijjjAAB11jjjjBA解令即有,2,1,jABjj且2.100件产品中有3件次品，从中任取两件，A“至少有一件次品”，A“两件都是合格品”求至少有一件次品的概率。解令0594.01)(1)(2100297CCAPAP42522)(35231314CCCAP42516913)(352334CCBP解令A“3张牌同花色”B“3张牌相互不同花色”3.从一副扑克牌的52张中无放回地任取3张，求这3张牌同花色的概率和相互不同花色的概率。解令A“3张牌互不同号”B“3张牌同号”4.从一副扑克牌的52张中有放回地任取3张，求这3张牌互不同号的概率和同号的概率。16913252)(318521452152CCCAP169152)(31414152CCCBP现在无放回地试开房门，计算5.钥匙串上的5把钥匙中只有一把可以开房门，（1）第三次打开房门的概率。（2）三次内打开房门的概率。（3）如果5把中有2把可以打开房门，求三次内打开房门的概率。解（1）51345134piAi,3,2,1i51)(iAP（2）令“第次打开房门”，则，且321,,AAA互斥，则53515151p（3）因为,52)(1AP,1034523)(2AP,51102345223)(3AP1095110352p6.有15名新研究生随机选择3个专业，每个专业5人，计算如果这15名学生中有3名女生，（1）每个专业各得一名女生的概率（2）3名女生分在同一专业的概率解(1)9125!5!5!5!15/!4!4!4!12p(2)916!5!5!5!15/!5!5!2!12p7.直径为1的硬币随机地落在打有方格的平面上，问方格的边长为多少才能使硬币和网格不相交的概率小于0.01.解假设方格的边长为,x硬币的圆心落在方格内是等可能的，则圆心落在如图小方格A中时，硬币不与网格相交,01.0)1()(22xxAP,101xx910x]1,0[,,,ZYX,,,ZYX8.在中任取三点求线段能构成三角形的概率。解法一（三维）两边和大于第三边。构成三角形的充要条件是：}1,,0),,{(zyxzyx1)(m},,),,{(xzyyzxzyxzyxA如图相当于立方体切去三个角，每个角的体积为,6112131216131)(Am21)(AP解法二不妨假设,10zyx则}10),{(zyxyx},),(),{(zyxyxyxA212141)(22zzAPzyxyxzz9.已知24小时内有两条船相互独立且随机的到达码头，它们的停靠时间分别是3和4小时，如果码头只能容纳一只船，求后到的船需要等待的概率。解设yx,分别是两只船到达码头的时间，则}24,0),{(yxyx}34),{(xyyxyxA或115231124)2021(2124)()(2222mAmp也是上事件域。F,F10.设对每个实数是上事件域，证证明令,FF只需证F满足事件域的三个性质（1）F,FF（2）FFA对FA,FA,FFA（3）FFAjFAj,FAjj1,FFAjj1所以FF也是上事件域。11.电梯中的两个人等可能地要去n,,3,2层),,(PFF#,#（1）写出相应的概率空间，给出A)(AP（2）用表示这两个人到达不同的楼层，计算解（1）用}.,3,2,{njibaji2)1(#nF是子集的全体，则jiba层第二人去ij第一人去层，则2)1(2#nF,FB##)(BBP对定义（2）表示两个人到达不同楼层，A,11)1(1)(2nnnAP12111)(nnnAPA表示两个人到达相同楼层12.两个人下棋，每局获胜者得一分，累计多于对手两分者获胜，设甲每局获胜的概率为,p求甲最终获胜的概率。解（1）乙胜a2a局，甲要胜局才算最终获胜，所以下棋的总盘数是,22a为偶数。（2）甲要最终获胜，最后要两局连胜设下棋的盘数,22kn最后两局甲胜，前k2局甲乙各胜k局。前k2局两盘两盘看成一个盒子，每个盒子中放入和V,X表示甲先赢后输，VX表示甲先输后赢，种，所以k2共有则每个盒子有2种,02)2(kkkkqppp222qpppqp211202)2(kkpqp)1(qp13.甲、乙二人比赛，如果甲胜的概率,21p三局两胜的比赛规则对甲有利，还是五局三胜的规则对甲有利？解设三局两胜下甲取胜的概率为,1p则322222123)1(22pppppqppp设五局三胜下甲取胜的概率为,2p则345233321015663pppqpqppp所以0)12()1(32212ppppp即五局三胜对甲有利14.一副眼镜第一次落地摔坏的概率是0.5，若第一次没摔坏，第二次摔坏的概率是0.7，若第二次没摔坏第三次落地摔坏的概率是0.9，求该眼镜落地三次没有摔坏的概率。iA眼镜第次落地没有摔坏，解令i3,2,1i)\()\()()(213121321AAAPAAPAPAAAP015.01.07.05.015.甲吸烟时在两盒有差别的火柴中任选一盒，使用其中的一根火柴，设每盒火柴中有n根火柴，求遇到一盒空而另外一盒剩下r根火柴的概率。解吸烟一次看做一次试验，重复了rn2次，两盒火柴有差别，则rnnnrnCp)21()21(22注此题改为两盒火柴无差别，rnnnrnCp)21()21(216.一枚深水炸弹击沉、击伤和不能击中一艘潜水艇的概率。21,31,61的概率分别是和设击伤该艘潜水艇两次也使该潜水艇沉没，求用4枚深水炸弹击沉该艘潜水艇解令A潜水艇未被击中（四枚全不中或三枚不中且一枚击伤）1296133613)21()61()61()(23344CAP129612831296131)(APk17.设一辆出租车一天内穿过个路口的概率是,pm为求这辆出租车一天内遇到个红灯的概率。),2,1,0(,!kkepkk是正常数，如果各个路口的红绿灯是独立工作的，在每个路口遇到红灯的概率解设kBk)2,1,0(k出租车一天穿过个路口，mAm)2,1,0(m出租车一天内遇到个红灯，)(mAP则（mk时概率为0）mkkmkBAPBP)\()(mkkke!mkmkmkppmkmkke)1()!(!!!mkmmkppC)1(mkmkmkmmpmkmep)1()!(1!0!)1(!lllmmlpmep)1(!pmmemeppmemp!)()2,1,0(m18.瓮I中有2个白球3个黑球，瓮II中有4个白球和1个黑球，瓮III有3个白球和4个黑球，随机选一个瓮并从中随机地抽取一个球，发现是白球，求瓮I被选到的概率。,i解设iA3,2,1i选中瓮B取白球31111)\()()\()()\(iiiABPAPABPAPBAP5714733154315231523119.甲乘汽车、火车的概率分别为0.6、0.4，汽车和火车正点到达的概率分别为0.8、0.9，现在甲已经正点到达，求甲乘火车的概率。解设A甲乘汽车，B甲正点到，则)\()()\()()\()()\(ABPAPABPAPABPAPBAP738.06.09.04.09.04.01n)0(niii20.设有个口袋，第个口袋中有in个白球，个红球，先在这1n个口袋中任意选定一个，然后在这袋中有放回地抽取r个球，如果这r个球都是红球，求再抽一个也是红球的概率。iAni,,2,1,0解设选中第个口袋，ijBjrj,,2,1第次抽红球，niiiABPAPBP111)|()()(nininn111niiiABBPAPBBP12121)|()()(21)(11nininnniirirABBBPAPBBBP12121)|()()(rnininn)(111)()()\(11111rrrrrBBPBBBPBBBPnirrnirrrnnnrnnn0011)()1(1)()1(1nirnirrnnrn001)()(A解设机器良好21.一台机床工作状态良好时，产品的合格率是%,99机床发生故障时产品的合格率是%,50设每次新开机器时机床处于良好状态的概率是%,95如果新开机器后生产的第一件产品是合格品，求机床处于良好状态的概率。B产品合格则%,99)\(ABP%,50)\(ABP%,95)(AP%5)(AP)\()()\()()\()()\(ABPAPABPAPABPAPBAP50.005.099.095.099.095.0974.096559405nnnkAnk22.口袋中有质地相同的个白球和一次取个，用表示这个球中恰有个红球个红球，从中)(kAP（1）计算nnnkknCC202)(（2）证明,mnmnnkknmknCCC0（3）对正整数证明解（1）nnknnnknnknkCCCCCAP222)()(（2）因为nAAA,,,10组成完备事件组，则nkkAP0)(1nkknnnCC022)(1nnnkknCC202)(m（3）假设口袋中有个白球，n个红球，从中一次取n个，令kBn取到的个球中有个红球，则knBBB,,,10组成完备事件组nkkBP0)(1nknmnknmknCCC0nmnnkknmknCCC0nmnnkknmknCCC0b个（1）求恰有个白球的概率（2）证明地任取kkrarakkbrbbbaCCC0个红球，rbra23.袋中有个白球，从中无放回rkarakkbrabaCCC0（3）证明kAbk解设个中恰有个白球bbakbrbkrakCCCAP)(rakkAP0)(1rakbbakbrbkraCCC0bbarakkbrbkraCCC0rakkrarrakbrabaCCC0rakkrakbCC0（1）（2）,rab（3）在（2）中令则24.证明以下组合公式knnkikiCC11mnmkkmknCC01110mmnnjnjnCC（1）（2）（3）},,2,1{n个，令k证明（1）在中无放回地任意取取到的个数最大的是iAk)(kiknkikCCAP11)(nkkAP0)(1knnkikiCC11knnkikiCC11（2）在（1）中令,mnkmnmnnnmnimniCCC11而左mnmkkmknnmnimniCCinkC0111右（3）由公式（2）mkkmkmnmkkmkmnmmnCCC00)1(1)1(11mjjjnCkmj0