K(三章5讲)不确定性原理

量子力学与统计物理Quantummechanicsandstatisticalphysics李小飞光电信息学院第三章：量子力学中的力学量第五讲：不确定性原理ˆˆˆˆ?FGGF引入：问题：1.哪些算符之间是对易，哪些不是？2[,]0ˆˆ[,]0ˆˆ[,]0ixxppLLˆ[,],,ˆˆˆ[,]xpiLxixLpipLLiLhhhh常用算符对易关系：两不对易力学量算符，一般不同时具有确定值--海森堡算符不对易的物理含义一：不确定度的定量描述2.不确定度:偏差的大小（绝对值）ˆˆFFFFF1.偏差:测量值与平均值之差ˆˆFFFFF定义:３.均方差:偏差平方的平均值222()FFF推导：22()(-)FFF222FFFF222FFFF222FFFF2222FFF222()FFF二、不确定性原理的严格证明ˆˆˆˆˆˆˆ[,]FGGFFGik令是算符或数对任意波函数，引入实参量的辅助积分：2ˆˆ()|()|0IFiGdˆˆˆˆ[][]*FiGFiGdˆˆˆˆ[][()*()*]FiGFiGd222ˆˆˆˆˆˆ*()*()*()FdiFGGFdGdˆˆ,FG为厄密算符222[,]FiFGGˆˆˆˆ[][()*()*]FiGFiGd2ˆˆˆˆ()()*()()*ˆˆˆˆ()()*()()*FFdiGFdiFGdGGd222ˆˆˆ*()*()ˆˆˆ*()*()FdiFGdiGFdGd222()()FkGˆˆˆˆˆˆ[]FGFGGF注：　，ˆˆˆˆ()()()()ˆˆˆˆˆˆˆ[]FFGGGGFFFGGFFGik，222[,]FiFGG222()ˆˆ()()4kFG240bac2221ˆˆˆˆ()()[,]4FGFG或222()()0FkG20abc对比方程：称为不确定性关系(uncertaintyrelation)24bac由不确定性关系看出：若两个力学量算符和不对易，则一般说来与不能同时为零，即和一般不能同时测定（但的特殊态是可能存在的）。反之，若两个厄米算符对易，则可以找出这样的态，使和同时满足，这就是它们的共同本征态。ˆGFG[,]0FGˆFΔF=0ΔG=0ˆFˆG2221ˆˆˆˆ()()[,]4FGFG哥本哈根诠释三大核心原理：海森堡的“不确定性原理”玻尔的“互补原理”波恩的“统计解释”1）不确定性原理源于波粒二象性，体现对微观事物认识的极限，而这个极限也就是具有物理意义的一切。2）物体所呈现出的形态，很大程度上取决于我们的观测方法和手段。同一对象在不同观测中呈现出不同形态，就算它们是互相排斥的，按互补原理也必须要同时被采纳，因为它们互补性地呈现了物体的不同方面。3）量子测量在本质上是“随机”的，因此原则上会对被观测对象带来不可预测的影响。当我们说“测得电子出现在某处”时，只描述了这个事件，并不知道它为什么会在这里，因为它并不必然出现在这里。因此，因果率不适用，应被统计率所取代。薛定谔泡利海森堡布里渊德拜狄拉克康普顿玻恩玻尔普朗克居里洛伦兹朗之万爱因斯坦德布罗意第五届索尔维会议，不确定性原理和互补原理；宣告量子革命完成！（2）若在光子到达I2前的某一时刻（此时光子正在某一条“路径”上），在I2处放置半透镜BS2，使其产生干涉。调整光程差，使D1方向相干相消，D2方向相干相长，光子总被D2接收。说明光子总是走两条路径。观察者现在的测量决定了光子过去对路径的选择！（1979）I1I2M1M２BS1BS2D2D1因果论的困境：延迟选择实验（1）一个光子从光源I1发出，经半透镜BS后，各以50%的概率由BS１或BS2到达I2。若在I2处不放置半透镜BS2，则要么只有D1响起，要么只有D2响，说明光子只走一条路径。实验事实：光子走一条还是两条路径；由I2处是否放置有半透镜决定实验发现：实验结论：（1）观测不仅对被观测物现在的状态有不可避免的扰动，对过去的行为也是一样的。（2）主体测量影响客体，主客体是不可分割的整体。（3）物体所呈现出的形态，很大程度上取决于我们的观测方法和手段。（4）传统意义上的因果论在量子力学中不存在。（5）物体从一个位置运动到另一位置，没有确定的轨迹，而是所有可能路径的总和。（费曼建立“路径积分”，是描述量子力学的第三种方法）I1I2M1M２BS1BS2D2D1ˆ[]xxpiQh，坐标和动量的不确定性关系22)),22xxxpxphh或（（即：22221))[,]44xxxpxph（（海森堡，德，1901~19761932年诺贝尔物理学奖三、海森堡不确定性关系（1927)说明：和不能同时为零，坐标的均方差越小，则与它共轭的动量的均方偏差越大，亦就是说，坐标测量愈准，动量就愈测不准。所以也称测不准原理xxpxpx我们知道电子的大小约在10-23米，现在，我们想测电子在哪里，测量的误差是10-17米，这是很严重的事！因为位置误差是其实际大小的100万倍！34102xxph我们假设△x和△p的量级差不多，它们都在10-17量级。分析:(1)“不确定”名副其实！100万倍的误差意味着什么？假设一小孩的睡高为1米5，测量误差是150万米，那是1500公里；如果妈妈要找他回来吃饭，要在整条京沪铁路上去找！“不确定”变得名副其实！假设我们有一种设备能精确测定电子动量p，其误差△p的量级为10-34，那么△x的量级为100。电子大小为10-23米，测量电子位置的误差是其大小的1023倍；相当于那个1.5m的小孩，他可能在整个银河系（直径为10亿光年）的任何位置。这种不确定性是“原理”性的！(2)“不确定”是原理性的与仪器精度无关E1（３）能量－时间不确定性关系2Et根据能量-时间不确定性原理，激发态没有明确的能量，其能量不确定度△E也称为能级宽度能级宽度越大，粒子处于这个态的寿命就越短。.在光谱中，峰宽（自然线度△v）越大，对应的态就衰减得越快，寿命越短；峰宽越小，态越稳定。)(210vfN)(0vfN~Evp~~Etvtpxp不确定性关系的在宇宙学中的意义：在极小的空间和极短的时间里什么都有可能发生时间非常确定，能量就非常不确定；空间很确定，动量就很不确定。根据不确定性原理，物质可以逃脱物理定律的束缚，以某种方式突然出现或消亡！或许，宇宙本身就是通过这种机制产生的，宇宙在“没有时空的某奇点”突然出现。然后由于各基本力的相互作用，它指数级地膨胀，形成以恒星为主宰的世界----“大爆炸”理论！大质量的恒星由于能量消耗最后会向内坍缩:“恒星”-“白矮星”-“中子星”-“黑洞”----“黑洞”理论！量子真空（狄拉克海）被黑洞的引力场极化，导致正负粒子对不断产生。正粒子留在黑洞外面，即黑洞可辐射可发光。反粒子被黑洞捕获而消耗黑洞质量，黑洞在蒸发----“霍金蒸发”理论！实验事实：(1)彭齐亚斯和威尔逊发现宇宙的微波背景辐射与3.5K的黑体相当，表明宇宙温度在下降（1978年诺奖）。(2)哈勃发现远星系颜色比近的要稍红些！宇宙空间在膨胀宇宙的起源Gorgeousdestructionwhenablackholeshredsastar2015ScienceFlowsofX-raygasrevealthedisruptionofastarbymassiveblackhole,2015Nature黑洞吃恒星时空源于量子纠缠Physicistsbelievethatentanglementistheessenceofquantumweirdness—andsomenowsuspectthatitmayalsobetheessenceofspace-timegeometry.Nature527290(2015)唯心唯物论争论的根没有了，哲学扫地出门！上帝已死－－尼采哲学已死－－霍金《大设计》宇宙和时空都可以“无中生有”，作为第一推动力的“上帝”再也没有存在的必要不确定性关系的哲学意义：观测不到等于不存在！地球“本来”是方的，但所有观测显现圆形方型的地球它观测不到，说明是不存在的！你身边站着一只“鬼”但你用尽一切仪器都观测不到，说明它是不存在的！电子是“粒子和波的混合体”，但观测时要么显现出粒子性要么显现出波动性这种”混合体”观测不到，说明它是不存在的！维尔纳·海森堡维尔纳·海森堡（WernerHeisenberg，1901年12月5日－1976年2月1日），德国物理学家，量子力学的创始人之一，“哥本哈根学派”代表性人物。1932年，海森堡因“创立量子力学以及由此导致的氢的同素异形体的发现”而荣获诺贝尔物理学奖。主要贡献：（1）创立矩阵力学（量子力学的矩阵形式）；（2）提出“测不准原理”（又称“海森堡不确定性关系”）；（3）散射（S）矩阵。1922年夏，玻尔去哥廷根大学讲学，最大的收获是遇到当时还是学生的泡利和海森堡…..1939年，铀俱乐部，德，海森堡1941年，曼哈顿计划，美，奥本海默，爱因斯坦,玻尔，费米，康普顿,古德施密特,……说谎者得不了诺贝尔奖！哥本哈根会晤之谜！54厘米？例题：一粒子处于如下波函数所描述的状态22,(0)0(),()()?00xxAxexxxpx当求当解：归一化02222)(1dxexAdxxx2341A∴2/32A利用012)2(!nxnndxex有0*dxxx23834403232dxexAx02*2dxxx25302423434dxexAx所以22222243493)(xxx0*dxpp20()xxdiAxexedxdxh2220()0xiAxxedxh02*2dxpp22220()xxdAxexedxdxh2222202222223(2)122(2)(2)xAxxedxAhhh22222()ppph所以：22222233()()44xxphh(1)()ikxxe作业1：粒子处于如下波函数描述的状态时，计算位置和动量的不确定度，并验证不确定关系0(2)()()xxx221224(3)()xxe1(4)()xLxeL,0(5)()(0)0,0xAxexxx