立体几何-垂直的证明 完整

直线与平面垂直的证明2017-4-18授课人：卢光明教学目标:1．能运用公理化方法证明线线、线面垂直等问题,能熟练运用线线垂直与线面垂直相互转化。2.会用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面的垂直。复习指导:本讲复习让学生会根据空间几何体的结构特征，寻找线线垂直条件，进而证明线面垂直。找线线垂直时注意是共面关系，还是异面关系。直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。线线垂直线面垂直判定lbaAbablal知识回顾：数学语言表示：图形语言表示：,1111DCBAABCD为正方形。四边形11AADD如图所示，已知长方体问题1、垂直的直线有哪些？中与直线个顶点中任意两点所在长方体DA18问题2、是否垂直？、与直线直线ACBDDA111线线垂直线面垂直性质判定公理化方法（几何法）：线线垂直的证明方法1、共面垂直：（1）等腰（等边）三角形中线（3）菱形（正方形）对角线（4）相似或全等证明直角2、异面垂直：线面垂直的性质3、两条平行直线中，其中一条垂直于某直线，则另一条也垂直于该直线。cbcaba则即：若,,//（2）勾股定理中的三角形（可求边长）例1、如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2,O为底面ABCD的中心，E为C1C中点，求证：A1OOE3222CEOCOE21221OAAOAA2,21AAAO621OA2,1,1,22111OCECECCA又92121121ECCAEA21221EAOEOA得OEOA1证明：例2如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.CDPAABCDCDABCDPAABCDP所以平面底面中在四棱锥)1(证明：AECDPACAEPACCDAACPACDAC所以平面而平面所以又因为,PDAEPCDPDPCDAECCDPCCDAEPCAEPCEPAACABCBCABPA所以平面平面所以且）知，由（中点，所以是又所以因为160,)2(ABEPDAAEABPDABPADPDPADABAADPAADAB平面所以又所以平面而平面所以且又因为,ABPAABCDPA所以底面因为BCDAOADABBDCDCBCABDOABCD平面求证：中点，为中，如图所示，在四面体2,2练习1、BDAOBDOADABCO所以中点为因为连接,,2,证明：OCAOAOCOCAOACACCOBDCOCDCBAOODBD为直角三角形，所以，所以因为，所以则又22223,211,2BCDAOOCOBD平面所以练习2、如图所示，ABCD是边长为a的正方形，BP⊥AB，H为BD上一点，且AH⊥平面PBD.求证：BP⊥平面ABCD.证明：ABCDBPAABAHABBPBPAHPBDBDPBDAH平面所以且又所以平面平面因为直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。线线垂直线面垂直判定性质lbaAbablal小结：数学语言表示图形语言表示：公理化方法（几何法）：线线垂直的证明方法1、共面垂直：（1）等腰（等边）三角形中线（2）勾股定理中的三角形（可求边长）（3）菱形（正方形）对角线（4）相似或全等证明直角2、异面垂直：线面垂直的性质(一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该平面内任何一条直线）3、两条平行直线中，其中一条垂直于某直线，则另一条也垂直于该直线。cbcaba则即：若,,//谢谢各位光临，望大家提出宝贵意见！AOCBDBDOABCD平面求证：中点。为中，如图所示，在正四面体练习3、BDCOBDOCDBCCOAO所以中点为因为，连接,证明：AOCBDOCOAOBDAOADAB平面所以所以又练习4、如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点,DF＝12AB，PH为△PAD中AD边上的高．(1)证明：PH⊥平面ABCD；(2)证明：EF⊥平面PAB.证明：(1)因为AB⊥平面PADPH⊂平面PAD，所以PH⊥AB.因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD.因为AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD.(2)取PA中点M，连接MD，ME，因为E是PB的中点，所以ME//AB且ME=12AB，又因为DF//AB且DF=12AB，所以ME//DF且ME=DF，所以四边形MEFD是平行四边形，所以EF∥MD.因为PD＝AD，M为AP中点，所以MD⊥PA.因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB.因为PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.DACCEDDCADDCCEECBDCCECBCEBCEBDCCCEBRtDCCRtCEADBCCBADBBBBCADBBABCBBBCADBCDACABABC111111111119090,平面所以所以所以全等于又因为则平面所以平面又所以的中点为中，在1、如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB＝AC，D，E分别为BC，BB1的中点，四边形BB1C1C是正方形．求证：DACCE1平面证明：作业布置2如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1⊥平面A1BD.