立体几何中的向量方法 课件

第三章空间向量与立体几何3.2.4立体几何中的向量方法夹角问题：设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则lamb(1),lm的夹角为，coscos,ab则lamb夹角问题：设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则(2),l的夹角为，sincos,au则uuπcos(-θ)=cosa,2uπcos(+θ)=cosa,2ulala夹角问题：设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则(3),的夹角为，uv则cosθ=cos,uv夹角问题：设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则(3),的夹角为，uv则cosθ=cos,uvxyz解1：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设则：Cxyz11CC(1,0,0),(0,1,0),AB11111(,0,),(,,1)222FaD11(,0,1),2AF111(,,1)22DB11cos,AFBD1111||||AFBDAFBDA1AB1BC1C1D1F30=.10所以与所成角的余弦值为1BD1AF3010011111111111190,,RtABCBCAABCABCABCBCCACCABACDFAFDB例1、中，现将沿着平面的法向量平移到位置，已知取、的中点、，求与所成的角的余弦值.011111111111190,,RtABCBCAABCABCABCBCCACCABACDFAFDB例1、中，现将沿着平面的法向量平移到位置，已知取、的中点、，求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F解2：例2、空间四边形ABCD中，AB=BC=CD，AB⊥BC，BC⊥CD，AB与CD成600角，求AD与BC所成的角大小.1AB解设ADABBCCD2222222ADABBCCDABBCBCCDABCD11100142AD()1ADBCABBCCDBCcos,1/2ADBC例3、的棱长为1.111.BCABC求与平面所成的角的正弦值解1建立直角坐标系.11(010)则，-，，BCB11平面ABC的一个法向量为D=(1，1，1)1110103cos313，BDBC1113所以与面所成的角的正弦值为。3BCABCA1xD1B1ADBCC1yzEF例3、的棱长为1.111.BCABC求与平面所成的角的正弦值解2A1xD1B1ADBCC1yzEF例4、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEF,2,PBEFPBDFEFDCPBD已知由（）可知故是二面角的平面角。)1,,(),,,(zyxPFzyxF则的坐标为设点PBkPF因为(,,1)(1,1,1)(,,)xyzkkkk所以kzkykx1,,即0DFPB因为0131)1,,()1,1,1(kkkkkkk所以31k所以ABCDPEFXYZ112()333F，，(3)解建立空间直角坐标系，设DC=1.)323131(，，的坐标为点F)21,21,0(的坐标为又点E)61,61,31(FE所以2131613666)32,31,31()61,61,31(cosFDFEFDFEEFD因为60,60.EFDCPBD所以即二面角的大小为112(,,)333FD例4、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEFXYZ平面PBC的一个法向量为解2如图所示建立空间直角坐标系，设DC=1.11(0,,)22DE平面PBD的一个法向量为G11(,,0)22CG1cos,1/2DEGCcos1/2,60例4、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEF解3设DC=1.,2,PBEFPBDFEFDCPBD已知由（）可知故是二面角的平面角。例5、的棱长为1.1.BD求二面角A--C的大小解1建立直角坐标系.A1xD1B1ADBCC1yz平面PBD1的一个法向量为1(0,1,1)DA平面CBD1的一个法向量为1(1,0,1)DC11cos,1/2DADCcos1/2,12010.BD二面角A--C的大小为12的棱长为1.1.BD求二面角A--C的大小解2A1D1B1ADBCC1例5、距离问题：设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则(1)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则222121212()()()ABxxyyzz距离问题：设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则asin,dAPAPa(2)点P与直线l的距离为d,则距离问题：设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则(3)点P与平面α的距离为d,则uAPOdd=|AP||cos,APu|=||||APuu.距离问题：设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则(4)平面α与β的距离为d,则d=|AP||cos,APu|=||||APuu.umDCPAlab