立体几何中的向量方法

菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练第七节立体几何中的向量方法菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练考纲要求：1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何中的应用．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练[基础真题体验]考查角度[利用空间向量求空间角]1．(2014·课标全国卷Ⅱ)直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A.110B.25C.3010D.22菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【解析】由于∠BCA＝90°，三棱柱为直三棱柱，且BC＝CA＝CC1，可将三棱柱补成正方体．建立如图所示空间直角坐标系．设正方体棱长为2，则可得A(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,1,2)，N(0,1,2)，∴BM→＝(1,1,2)－(2,2,0)＝(－1，－1,2)，AN→＝(0,1,2)．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练∴cos〈BM→，AN→〉＝BM→·AN→|BM→||AN→|＝－1＋4－12＋－12＋22×02＋12＋22＝36×5＝3010.【答案】C菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练2．(2014·天津高考)如图7­7­1，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．图7­7­1菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练(1)证明：BE⊥DC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F­AB­P的余弦值．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【解】依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系如图，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练(1)证明：BE→＝(0,1,1)，DC→＝(2,0,0)，故BE→·DC→＝0，所以BE⊥DC.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练(2)BD→＝(－1,2,0)，PB→＝(1,0，－2).设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量，则n·BD→＝0，n·PB→＝0.即－x＋2y＝0，x－2z＝0.不妨令y＝1，可得n＝(2,1,1)为平面PBD的一个法向量．于是有cos〈n，BE→〉＝n·BE→|n|·|BE→|＝26×2＝33，所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为33.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练(3)BC→＝(1,2,0)，CP→＝(－2，－2,2)，AC→＝(2,2,0)，AB→＝(1,0,0)．由点F在棱PC上，设CF→＝λCP→，0≤λ≤1，故BF→＝BC→＋CF→＝BC→＋λCP→＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF⊥AC，得BF→·AC→＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝34，即BF→＝－12，12，32.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练设n1＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，则n1·AB→＝0，n1·BF→＝0，即x＝0，－12x＋12y＋32z＝0.不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3,1)为平面FAB的一个法向量．取平面ABP的法向量n2＝(0,1,0)，则cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1|·|n2|＝－310×1＝－31010.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练易知，二面角F­AB­P是锐角，所以其余弦值为31010.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练考查角度[利用空间向量解决线面位置关系]3．(2014·山东高考)如图7­7­2，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB＝60°，AB＝2CD＝2，M是线段AB的中点．图7­7­2菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练(1)求证：C1M∥平面A1ADD1；(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1＝3，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【解】(1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB＝2CD，所以AB∥DC.又由M是AB的中点，因此CD∥MA且CD＝MA.(1)因为CD∥C1D1，CD＝C1D1，可得C1D1∥MA，C1D1＝MA，所以四边形AMC1D1为平行四边形，因此C1M∥D1A.又C1M⊄平面A1ADD1，D1A⊂平面A1ADD1，所以C1M∥平面A1ADD1.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练(2)如图(2)，连接AC，MC.由(1)知CD∥AM且CD＝AM，所以四边形AMCD为平行四边形，可得BC＝AD＝MC，(2)由题意∠ABC＝∠DAB＝60°，所以△MBC为正三角形，因此AB＝2BC＝2，CA＝3，因此CA⊥CB.以C为坐标原点，建立如图(2)所示的空间直角坐标系C­xyz，所以A(3，0,0)，B(0,1,0)，D1(0,0，3)，菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练因此M32，12，0，所以MD1→＝－32，－12，3，D1C1→＝MB→＝－32，12，0.设平面C1D1M的一个法向量为n＝(x，y，z)，由n·D1C1→＝0，n·MD1→＝0，得3x－y＝0，3x＋y－23z＝0，菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练[命题规律预测]命题规律从近几年的高考试题看，对本节内容的考查主要体现在以下两个方面：1.用向量法解决立体几何中的空间角及点、线、面的位置关系是历年的必考知识点之一，题型以解答题为主，难度中等．2.常与三视图、几何体的体积计算等结合命题，主要考查学生的等价转化能力和计算能力．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练考向预测预测2016年高考中仍以空间几何体为载体，以空间向量的运算为解题工具，考查空间点、线、面位置关系的证明及空间角的计算.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练考向一利用空间向量证明平行、垂直[典例剖析]【例1】如图7­7­3所示，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练图7­7­3(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【思路点拨】(1)建立空间直角坐标系，方法一：证明CM→与平面PAD的法向量垂直；方法二：证明CM→与平面PAD内两个不共线向量共面．(2)取AP的中点E，利用向量证明BE⊥平面PAD即可．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【解】以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C­xyz.∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°.∵PC＝2，∴BC＝23，PB＝4.∴D(0,1,0)，B(23，0,0)，A(23，4,0)，P(0,0,2)，M32，0，32，∴DP→＝(0，－1,2)，DA→＝(23，3,0)，CM→＝32，0，32，菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练(1)法一令n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，则DP→·n＝0，DA→·n＝0，即－y＋2z＝0，23x＋3y＝0，∴z＝12y，x＝－32y，令y＝2，得n＝(－3，2,1)．∵n·CM→＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，∴n⊥CM→，又CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练法二∵PD→＝(0,1，－2)，PA→＝(23，4，－2)，令CM→＝xPD→＋yPA→，则32＝23y，0＝x＋4y，32＝－2x－2y，方程组有解为x＝－1，y＝14，∴CM→＝－PD→＋14PA→，由共面向量定理知CM→与PD→，PA→共面，又∵CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练(2)取AP的中点E，则E(3，2,1)，BE→＝(－3，2,1)，∵PB＝AB，∴BE⊥PA.又∵BE→·DA→＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0，∴BE→⊥DA→，∴BE⊥DA，又PA∩DA＝A.∴BE⊥平面PAD，又∵BE⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练1．用向量证明平行的方法(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线．(2)线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行．(3)面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练2．用向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练[对点练习](2014·福建毕业班质量检测)如图7­7­4所示，三棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为4的正三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝26，M为A1B1的中点．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练图7­7­4(1)求