立体几何中的向量方法3.2.2

ZPZ空间“距离”，“角度”，综合性问题一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形）空间“距离”问题1.空间两点之间的距离根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式或(其中)，可将两点距离问题转化为求向量模长问题2aa222zyxa),,(zyxa设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则两直线l,m所成的角为(02≤≤),cosabab；直线l与平面所成的角为(02≤≤),sinauau；二面角─l─的大小为(0≤≤),cos.uvuv夹角：例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？A1B1C1D1ABCD图1解：如图1，设BADADAAAB，116011DAABAA化为向量问题依据向量的加法法则，11AAADABAC进行向量运算2121)(AAADABAC)(2112122AAADAAABADABAAADAB)60cos60cos60(cos21116所以6||1AC回到图形问题这个晶体的对角线的长是棱长的倍。1AC6思考：（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?A1B1C1D1ABCD11BBBCBABD6012011BCBABBABC，其中分析:分析:1111DAABAABADxAAADABaAC，，设11AAADABAC则由)(211212221AAADAAABADABAAADABAC)cos3(23222xxa即axcos631∴这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？设AB=1（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）A1B1C1D1ABCDH分析：面面距离点面距离.11HACHAA于点平面点作过解：.1的距离为所求相对两个面之间则HA111AAADABBADADAABA且由.上在ACH3360cos211)(22ACBCABAC.160cos60cos)(1111BCAAABAABCABAAACAA31||||cos111ACAAACAAACA36sin1ACA36sin111ACAAAHA∴所求的距离是。36例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。labcd解：如图，.dABcCDbBDaAC，，，化为向量问题根据向量的加法法则DBCDACAB进行向量运算222)(DBCDACABd)(2222DBCDDBACCDACBDCDACDBACbca2222DBCAbca2222于是，得22222dcbaDBCA设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。CADB因此.cos22222dcbaabABCD图3所以.2cos2222abdcba回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为.22222abdcba例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。labcd思考：（1）本题中如果夹角可以测出，而AB未知，其他条件不变，可以计算出AB的长吗？ABCD图322)(DBCDACAB由)(2222DBCDDBACCDACBDCDAB分析：cos2222abbca∴可算出AB的长。（2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？分析：如图，设以顶点为端点的对角线长为，三条棱长分别为各棱间夹角为。A1B1C1D1ABCDAd，，，cba21212)(CCACABCAd则cos)(2222acbcabbca)(2cos2222acbcabcbad（3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？aA1B1C1D1ABCD分析：二面角平面角向量的夹角回归图形解：如图，在平面AB1内过A1作A1E⊥AB于点E，EF在平面AC内作CF⊥AB于F。cossin1aBFAEaCFEA，则CFEAFCEAcoscoscos11，，||||11CFEACFEA221sin)()(aBFCBAEAA2222222sincos)cos(cos)cos(coscosaaaaacos1cos∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。zxy分析:钢板所受重力的大小为500kg，垂直向下作用在三角形的中心O，如果能将各顶点出所受的力1F、2F、3F用向量形式表示，求出其合力，就能判断钢板的运动状态.F1F2F3ACBO500kg例1、如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为，在它的顶点处分别受力、、，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是，且.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？500kg1F2F3F60123200FFFkg解：如图，以点A为原点,平面ABC为xAy坐标平面，AB方向为y轴正方向,AB为y轴的单位长度，建立空间直角坐标系─Axyz,则正三角形的顶点坐标分别为设1F方向上的单位向量坐标为(,,)xyz，由于1F与AB,AC的夹角均为60，∴131cos60(,,)(,,0)2221cos60(,,)(0,1,0)2①②xyzxyz又∵2221xyz③∴由①②③可解得112x,12y,23z.∴1112200(,,)1223F同法可求得2112200(,,)1223F,312200(,0,)33F(0,0,0)A,(0,1,0)B,31(,,0)22C合力123FFF11211212200(,,)(,,)(,0,)1223122333200(0,0,6)这说明，作用在钢板的合力方向向上,大小为2006kg,作用点为O.由于2006500,所以钢板仍静止不动要提起这块钢板,设123FFF=x,则需6500x,解得5006x，因此,要提起这块钢板,1F、2F、3F均要大于5006kg．例4如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证：PA//平面EDB(2)求证：PB⊥平面EFD(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEFABCDPEFXYZG解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG(1,0,0),(0,0,1),11(0,,)22APE依题意得)021,21(，的坐标为故点是此正方形的中心，所以点是正方形，因为底面GGABCDABCDPEFXYZG)21,0,21(),1,0,1(EGPA且EGPAEGPA//2，即所以EDBPAEDBEG平面且平面而,EDBPA平面所以，//(2)求证：PB⊥平面EFDABCDPEFXYZ)1,1,1(),0,1,1(2PBB）证明：依题意得（021210),21,21,0(DEPBDE故又DEPB所以,,EDEEFPBEF且由已知EFDPB平面所以(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEFXYZ的平面角。是二面角故）可知由（）解：已知（DPBCEFDDFPBEFPB,2,3)1,,(),,,(zyxPFzyxF则的坐标为设点PBkPF因为(,,1)(1,1,1)(,,)xyzkkkk所以kzkykx1,,即0DFPB因为0131)1,,()1,1,1(kkkkkkk所以31k所以)323131(，，的坐标为点F)21,21,0(的坐标为又点E)61,61,31(FE所以2131613666)32,31,31()61,61,31(cosFDFEFDFEEFD因为.60,60的大小为即二面角所以DPBCEFD