立体几何中距离问题

立体几何中的向量方法------距离问题向量的直角坐标运算则设),,(),,,(321321bbbbaaaa);,,(332211babababa);(),,,(321Raaaa;332211babababa);(;,,//332211Rbabababa;0332211babababa夹角、||||,cosbababa;332211babababa2322212||aaaaaa2322212||bbbbbb;232221232221332211bbbaaabababa空间两点间的距离公式、;)()()(||),,,(),,,(A212212212222111zzyyxxABABABzyxBzyx则已知在空间直角坐标系中，一、直线的方向向量定义直线L上的向量以及与向量共线的向量叫直线L的方向向量.•例：直线L过点P(-2,3,1),Q(1,0,-1)，则直线L的一个方向向量为______ee(3,-3,-2)答案：Lee二、平面的法向量定义如果表示非零向量的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量垂直于平面α，记作⊥α．此时，我们把向量叫做平面α的法向量．nnnnαnn与平面垂直的直线叫做平面的法线．因此平面的法向量就是平面法线的方向向量一、求点到平面的距离一般方法：利用定义先作出过这个点到平面的垂线段，再计算这个垂线段的长度。还可以用等积法求距离.OdP向量法求点到平面的距离AOdnPd||APnn其中为斜向量，为法向量。nAPABCD1A1B1C1DExyz(1)求B1到面A1BE的距离；如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：二、直线到平面的距离AOdnPd||APnn其中为斜向量，为法向量。nAPlABCD1A1B1C1DExyz如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：(2)求D1C到面A1BE的距离；三、平面到平面的距离AOdnPd||APnnABCD1A1B1C1Dxyz如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：(3)求面A1DB与面D1CB1的距离；四、异面直线的距离nabd||APnn?n?AP是与都垂直的向量n,abAPABCD1A1B1C1DExyz如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：(4)求异面直线D1B与A1E的距离.点到平面的距离：直线到平面的距离：平面到平面的距离：异面直线的距离：四种距离的统一向量形式：d||APnnFEB1C1D1DCA练习1：已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，求点A1到平面DBEF的距离。BxyzA1练习2：已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，求平面DA1C1和平面AB1C间的距离。B1C1D1DCABxyzA1练习3:已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，求直线DA1和AC间的距离。B1C1D1DCABxyzA1小结利用法向量来解决上述立体几何题目，最大的优点就是不用象在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决问题。但是也有局限性，用代数推理解立体几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如：正（长）方体、直棱柱、正棱锥等。练习4：如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1,∠ACB=900,AA1=,2求B1到平面A1BC的距离。B1A1BC1ACxyz练习5：如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AB=1,AA1=2求B1到平面A1BC的距离。B1A1BC1ACxyzM练习6：已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。GBDACEFxyzSABCNMOxyz练习7：在三棱锥S-ABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC垂直平面ABC，SA=SC=，M、N分别为AB、SB的中点，求：点B到平面CMN的距离.32.)3()2(;)1(的距离到平面求点的大小；求二面角证明：CMNBBCMNSBACABCD1A1B1C1DExyz1111(,,)2AEABnxyzABE=(-1,,0),=(0,21,-1)设为面的法)向量，则110,0,nAEnAB10,20,xyyz2,2,yxzx即11110,1,0,BABEAB选点到面的斜向量为11(1,2,2)xABEn取＝，得平面的一个法向量111123ABnBABEdn得到面的距离为ABCD1A1B1C1DExyzDxyz1解：以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，DD所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，1)如图所示111(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,,1)2DBAE则111,,0,2AE11,1,1DB11(,,),nxyzAEDB设是与都垂直的向量，则110,0,nAEnDB10,20,xyxyz2,3,yxzx即11AEBD得与的距离111414DAndn1(1,2,3)xn取＝，得其中一个11111,0,0,AEBDDA选与的两点向量为