立体几何截图和作图

立体几何专题(1)☆多面体的截面多面体的截面在课本P59─例3、P63─B─1处体现。一、定义及相关要素用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面．此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线．此平面与几何体的棱的交集(交点)叫做截点．二、作多面体截面1．方法(交线法)．该作图关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面．2．作截线与截点的主要根据有：(1)确定平面的条件．(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线．(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(4)如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行．三、作图题型1°截面经过的三个已知点分别在多面体的棱上，且其中有两点在同一个面的棱上．作图题1．如图，正方体ABCD―A1B1C1D1中，E、F、G分别在AB、BC、DD1上，求作过E、F、G三点的截面．CABA1DB1C1D1EFGHKMLCBAA1DB1C1D1EFG作法：(1)在底面AC内，过E、F作直线EF分别与DA、DC的延长线交于L、M．(2)在侧面A1D内，连结LG交AA1于K．(3)在侧面D1C内，连结GM交CC1于H．(4)连结KE、FH．则五边形EFHFK即为所求的截面．作图题2．P、Q、R三点分别在直四棱柱AC1的棱BB1、CC1和DD1上，试画出过P、Q、R三点的截面．CA1DBAC1B1D1QPR作法：(1)连接QP、QR并延长，分别交CB、CD的延长线于E、F.(2)连接EF交AB于Ｔ，交AD于S．(3)连接RS、TP。则多边形PQRST即为所求截面。STFECABDA1C1B1D1QPR作图题3．已知P、Q、R分别是四棱柱ABCD―A1B1C1D1的棱CD、DD1和AA1上的点，且QR与AD不平行，求作过这三点的截面。C1B1D1CABDA1PQRMIC1B1D1CA1DBAPQR作法：(1)连接QP并延长交DA延长线于点I。(2)在平面ABCD内连接PI交AB于点M。(3)连接QP、RM。则四边形PQRM即为所求。作图题4．如图，五棱锥P―ABCDE中，三条侧棱上各有一已知点F、G、H，求作过F、G、H的截面．ABCDEPFGHNMKLSTPEDCBAFGH作法：(1)将侧面PAB、PBC、PDE伸展得到三棱锥P―BST．(2)在侧面PBS内，连结并延长GF，交PS于K．(3)在侧面PBT内，连结并延长GH交PT于L．(4)在侧面PST内，连结KL分别交PD、PE于M、N．(5)连结FN、MH．则五边形FGHMN即为所求的截面．2°截面经过的三个已知点至少有一点在多面体的面上，其余点在棱上．作图题5．如图，正方体ABCD―A1B1C1D1中，E、F在两条棱上，G在底面A1C1内，求过E、F、G的截面．CGBAA1DB1C1D1FEHQNMPF1CABGA1DB1C1D1FE作法：(1)过E、F作辅助面。在面BC1内，过F作FF1∥BB1，交B1C1于点F1，则面AFF1A1为所作的辅助面．(2)在面AFF1A1内，延长F1A1交FE的延长线于P．(3)在面A1B1C1D1内，连接PG交A1B1于M．并延长交B1C1于M。(4)连结ME并延长与BA延长线交于Q，连接QF交AD于H．(5)连结EH，FN．则五边形EHFNM为所求的截面．作图题6．已知直四棱柱AC1，P在面D1DCC1内，Q在面A1ADD1内，R在棱BB1上，画出过P、Q、R三点的截面。C1D1CB1QPA1DBARC1D1CB1QPA1DBARTSMKHP'Q'C1D1CB1ABDA1PQR作法：(1)过P作PP⊥CD于点P，过Q作QQ⊥AD于Q。(2)在底面ABCD内连接AP、BQ，并交于H。(3)由平行线QQ、RB作平面QQBR，连接QR。(4)在平面QQBR内过H作KH⊥面ABCD交QR于K。(5)由平行线PP、AA1作平面PPAA1，则K必落在面PPAA1内。(6)在面PPAA1内，连接PK，并延长交AA1于M。(7)在面A1ADD1内，连接MQ，并延长交DD1于S。(8)在面D1DCC1内，连接SP，并延长交CC1于T。(9)连接RT、RM。则多边形SMRT即为所求。3°截面经过的三个已知点中，有两个点在同一棱上，第三点在多面体内．作图题7．试画出过正三棱柱ABC―A1B1C1的底边BC及两底中心连线OO1中点的截面。MO1D1B1C1ODBACA1作法：(1)过A1A和OO1作平面AOO1A1，交BC于D，交B1C1于D1，则D、D1分别为BC、B1C1的中点。(2)在平面A1AM内，作直线DM交上底面A1B1C1于点G。(3)在平面A1B1C1内，过G作EF∥B1C1交A1B1于E，交A1C1于F。(4)连接BE，CF。则多边形BCFE为所求。EFGMO1D1B1C1ODBCAA1作图题8．在侧棱和高的夹角为α的正四棱锥中，求作一个过底面顶点且与这点所对侧棱垂直的截面(α＜45°)。DABCSaHGNMEDBACS作法：(1)在平面SAC中，作AE⊥SC于点E。(2)在底面ABCD内过A作a∥BD。(3)延长CB、CD分别交a于点M、N。(4)连接EM、EN，分别交SB、SD于点G、H。(5)连接AG、AH。则多边形AGEH即为所求。4°截面经过的三个已知点两两不在同一面内的棱上．作图题9．P、Q、R三点分别在直四棱柱AC1的棱CC1、A1D1和AB上，试画出过P、Q、R三点的截面．C1D1CB1A1DBAPQRC1D1CB1A1DBAPQRKNTLSMR1C1D1CB1ABDA1PQR作法：(1)先过R、P两点作辅助平面。过点R作R1R∥BB1交A1B1于R1，则面CRR1C1为所作的辅助平面。(2)在面CRR1C1内延长R1C1，交RP的延长线于M。(3)在面A1B1C1D1内，连接MQ，交C1D1于点S，延长MQ交B1A1的延长线于点T。(4)连接TR，交AA1于点N，延长TR交B1B于点K，再连接KP交BC于点L。(5)连接RL、PS、QN。则多边形QNRLPS为所求。注：①若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截线。②若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二确定的点。③若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点。④若两平行平面中一个平面与截面有交线，另一个面上只有一个已知点，则按平行平面与第三平面相交，那么它们的交线互相平行的性质，可得截面与平面的交线。⑤若有一点在面上而不在棱上，则可通过作辅助平面转化为棱上的点的问题；若已知点在体内，则可通过辅助平面使它转化为面上的点，再转化为棱上的点的问题来解决。立体几何专题(2)☆空间图形的作图空间图形的作图在课本P51─A─1、P62─A─4、P78─A─1&2处体现。一、空间几何作图的规则：1°通过不共线的三点作一平面．2°求两个可作相交平面的交线．3°在一个可作平面内，支持用直尺和圆规按照平面几何解决一切作图题．4°任意取一点，在或不在已知直线上，在或不在已知平面上；任意取一直线，通过或不通过一已知点，在或不在已知平面内；任意取一平面，通过或不通过一已知点，通过或不通过一已知直线．5°求已知球心及半径的球面．二、解作图问题的步骤：1°分析：假设求作的图形已经作出了．研究已知条件和未知条件间有何可以沟通的关系或中间条件，从而发现如何从已知条件通过中间条件的媒介达到未知条件．2°作法：从分析的结果，写(说)出每一个作图过程．3°证明：证明所作图形确实满足所设条件．4°讨论：研究在怎样的条件下，解答存在或不存在，以及当解答存在时解的个数有多少．三、简单作图题作图题1．求作一平面使其满足下列条件之一：1°通过一已知直线及其外一已知点；2°通过两已知相交直线；3°通过两已知平行直线．作图题2．求已知直线和已知平面的交点．作图题3．求三已知平面的交点．作图题4．通过已知直线外一已知点，求作一直线使与该直线平行.作图题5(P62―4)．给定两条异面直线，求作一平面通过其中一线而平行于另一线．命题：过两异面直线中一个有且只有一平面与另一直线平行。证明：证明存在性。设直线a、b异面。在a上任选取一点A，过A作b∥b。相交直线a和b确定一平面α，则b∥α。证明唯一性。设点A和直线b确定平面β，则α∩β＝b，A∈b。假设过a还存在平面γ∥b，则必有γ与β相交。设γ∩β＝b，则b∥b，A∈b。∴b∥b与A∈b且A∈b相矛盾。故α是唯一的。∴作图题5解答唯一存在。作法：在直线a上任取一点A，过直线b与线外一点A作平面M，在平面M内作直线c∥b，过相交直线a与c作平面N．则平面N即为所求．作图题6．给定两条异面直线，过其一直线各作一平面使两平面互相平行．命题(P63―2)：a、b是异面直线，aα，a∥β，bβ，b∥α存在唯一一对α、β使α∥β。证明：∵a、b异面，aα，b∥α，由作图题5的命题知，这样的面α有且只有一个。要确定它，只需在a上任取一点A作直线b∥b，则a和b就确定了α。同理，满足条件的β也有且只有一个。要确定它，只需在b上任取一点B作直线a∥a，则b和a就确定了β。综上知α、β存在且唯一。又∵a∥a，b∥b，a、bα，b、aβ，∴α∥β。∴作图题6解答唯一存在。作图题7．过给定平面外一点求作一平面，使平行于该平面．命题：过平面外一点，有且只有一个平面与该平面平行。证明：设A是面α外一点。在α内任取两相交直线a、b，过A作a∥a，b∥b，两相交直线a、b确定面α。∴α∥α。存在性证明了。假设过A还存在γ∥α，则a∥γ，b∥γ。设过A和a的平面为β，则β与γ必相交。设γ∩β＝a，则a∥a，∴a∥a，这与A∈a且A∈a矛盾。故α是唯一的。唯一性也证明了。∴作图题7解答唯一存在。作图题8．给定两直线a、b及一点A，求作一平面使通过A并平行于a和b．解：1°若a、b异面，且A不在通过其中过一线而平行于另一线的平面内，则问题有唯一解答。2°若a、b相交，且A不在a、b所确定的平面内，则问题有唯一解答。3°若a、b平行，且A既不在a上又不在b上，则问题不定，即有无穷多个解答。4°其它情形下，问题无解。作法：在a和A确定的平面内过A作a∥a，在b和A确定的平面内过A作b∥b。由a和b确定的平面α即为所求。作图题9．求作一直线l使与两直线a、b相交，并通过此两直线以外的一已知点M．解：Ⅰ．若a、b共面于α．1°当M∈α时，有无穷多个解答．2°当Mα且a、b相交时，有唯一解答。3°当Mα且a∥b时，没有解答。Ⅱ．若a、b异面．1°当M在过a而平行于b的平面β内或在过b而平行于a的平面γ内时，没有解答。2°当M既不在过a而平行于b的平面β内又不在过b而平行于a的平面γ内时，有唯一解答。作图题10．给定两条异面直线a和b，求作一直线l使与a、b相交，并与第三直线c平行．解：Ⅰ．若c、a相交且确定平面α．1°当α∥b时，无解。2°当α与b相交时，有一解。解为过b与α的交点A作c的平行线。Ⅱ．若c、a异面。设过a且平行于c的平面为β。1°当β∥b时，无解。2°当β与b相交时，有一解。解为过b与β的交点B作c的平行线。综上知，当a、b、c平行于同一平面时，无解；其它情况下，只有一解。作图题11．给定一平面及一斜线，求作在平面上通过斜足作一直线，使与斜线成已知锐角．解：设OA为给定平面π的给定斜线，已知锐角为ψ。在斜线OA上任意取一点A，并作AH⊥π于H，连接OH。设∠AOH＝φ，则由最小角定理(斜线与它在平面内的射影所成的锐角是斜线与这平面内其它直线所成锐角中最小一个)知，1°当ψ＜φ时，无解。2°当ψ＝φ时，有一解。解为直线OH。2°当ψ＞φ时，有两解。由cosψ＝co