立体几何知识题型与方法(文科)

第1页（共17页）立体几何知识题型与方法（文科）（空间点线面的位置关系）一、平面1平面含义：平面是无限延展的2三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.符号表示为A∈LB∈L=LαA∈αB∈α公理1作用：判断直线是否在平面内.（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A、B、C三点不共线=有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。公理2作用：确定一个平面的依据。（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P∈α∩β=α∩β=L，且P∈L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。（1）.证明点共线的问题：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。（2）.证明共点问题：一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。（3）.证共面问题：一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合二、空间直线.1.空间直线位置关系三种：相交、平行、异面.相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（也可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系是平行或相交③若直线a、b异面，a平行于平面，b与的关系是相交、平行、在平面内.④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和LA·αC·B·A·αP·αLβ共面直线第2页（共17页）斜线段）⑦ba,是夹在两平行平面间的线段，若ba，则ba,的位置关系为相交或平行或异面.⑧异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）2.平行公理：公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如右图）.（直线与直线所成角]90,0[）（向量与向量所成角])180,0[推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.【注意点】：①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；②两条异面直线所成的角θ∈(0，)；③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。3.两异面直线的距离：公垂线段的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.[注]：21,ll是异面直线，则过21,ll外一点P，过点P且与21,ll都平行平面有一个或没有，但与21,ll距离相等的点在同一平面内.（1L或2L在这个做出的平面内不能叫1L与2L平行的平面）三、位置关系的判定一.两直线平行的判定（1）、公理四：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线a∥bc∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。（2）、线面平行的性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：a∥αaβ=a∥bα∩β=b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。（3）、面面平行的性质：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：α∥βα∩γ=a=a∥bβ∩γ=b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2=a∥c第3页（共17页）（4）、线面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。符号表示：a⊥α=a∥bb⊥β二.直线与平面平行的判定1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示aαa∩α=Aa∥α2.直线与平面平行判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行线面平行。符号表示：aαbβ=a∥αa∥b[注]：①直线a与平面内一条直线平行，则a∥.（×）（平面外一条直线）②直线a与平面内一条直线相交，则a与平面相交.（×）（平面外一条直线）③若直线a与平面平行，则内必存在无数条直线与a平行.（√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面.（×）（可能在此平面内）⑤平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）⑥直线l与平面、所成角相等，则∥.（×）（、可能相交）另：经常可以用来判定直线与平面平行的定理还有：如果两个平面互相平行，那么在一个平面内的直线平行另一个平面。（即：面面平行线面平行）【小结】：能够用来判定线面平行的有：（1）、定义：直线与平面无公共点。（2）、判定定理：（3）、面面平行的性质：三、平面与平面平行的判定：（1）、空间两个平面的位置关系：相交、平行.（2）、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。第4页（共17页）符号表示：aβbβa∩b=P=β∥αa∥αb∥α推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.判断两平面平行的方法有四种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。（4）平行于同一平面的两个平面平行。四、直线与平面垂直的判定1、定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。3、一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么它也垂直于另一个；4、两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。5、面面垂直的性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。五、面与面垂直的判定1、定义：两个平面成直二面角，就说这两个平面互相垂直；2、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。四、位置关系的性质1.直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行线线平行”）2.面面平行的性质：（1）如果两个平面互相平行，那么在一个平面内的直线平行于另一个平面（面面平行线面平行）（2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么交线平行（面面平行线线平行）（3）平行于同一平面的两个平面互相平行（面面平行的传递性）3．线面垂直的性质：（1）定义：一条直线垂直于一个平面，它就垂直于这么平面内的任何一条直线（线面垂直线线垂直）（2）直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。（3）直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一直线的两个平面平行。（4）一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么它也垂直于另一个平面第5页（共17页）4.面面垂直的性质：（1）两个平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。（2）两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面五．几个常见的结论一几个唯一性结论：1.过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，2.过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.3.过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行4.过已知平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行二几个容易辩错的结论1.过一点，有无数条直线与已知直线垂直2.过平面外一点，有无数条直线与已知平面平行3.过一点，有无数个平面与已知平面垂直4.垂直于同一直线的两条直线不一定就平行，可以平行、相交或者异面5.平行于同一平面的两条直线未必就平行，可以平行、相交或者异面6.垂直于同一平面的两个平面未必就平行，可以平行也可以相交三三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也跟这条斜线垂直。即若PA⊥，a⊥AO，得a⊥PO（三垂线定理），三垂线定理的逆定理亦成立.a.垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点.[一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]b.射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。六、空间角一线线角1.定义：两条相交直线所成的不超过90°的角，叫做这两条直线所成的角2.异面直线所成的角：如果两条直线异面，那么它们的平行线相交后所成的角，就叫做这一对异面直线所成的角3.线线角的范围：[0°，90°]4.线线角的求法（1）解三角形法：将两条异面直线“平移”，使之相交，构成三角形后，利用正余弦定理求解；POAa第6页（共17页）α（2）向量法：取两条直线的两个方向向量，利用向量的数量积求角。【注意】：无论解三角形求角或者是利用向量求角，最后都要确定线线角的范围，必须在[0°，90°]二线面角1.定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的角，就叫做这条直线与这个平面所成的角特别地：一条直线垂直于这个平面，就说它们成角为90°，如果直线与平面平行或者在平面内，就说它们成角为0°2.范围：[0°，90°]3.线面角的求法（1）定义法：在已知直线上找一个合适的点，过此点做已知平面的垂线，然后连接垂足与斜足，那么这条斜线与射影所成的角就是所求的角，然后解直角三角形即可。此法的关键在于在直线上找一点，做出平面的垂线（2）向量法：取定平面的一个法向量，再取已知直线的一个方向向量，那么这两个向量所称的锐角，即为这条直线与平面所称的角的余角。利用向量的数量积可求。三二面角1.定义：从一条直线出发的两个半平面所构成的图形，叫做二面角2.二面角的平面角：自二面角的棱上一点，分别在两个半平面内作棱的垂线，那么这两条射线所夹的角，就叫做这个二面角的一个平面角。3.二面角的范围：[0°，180°]4.二面角的求法（1）定义法（2）垂面法（3）三垂线法（4）射影面积法其中，垂面法、三垂线法、是最常利用和考察的方法。七、几点心得1.对于空间位置关系的判断，要学会“首尾照应”；即分析条件所给出的位置关系，从其性质定理入手，分析都能得到哪一些结论，然后再看所要求证的位置关系是什么，从其判定定理入手，分析都有哪一些能判断其成立的判定方式；将已知和所求进行联系，“首尾照应”，便能找到合理的证明方法；2、“中点”，是条件中经常出现的一个因素，一般有2种用法；一是平行---以此中点开展找中位线的平行关系；二是证明垂直，一般运用的是中线即高线的方法；3、对于题设中给出的棱长或者棱长关系，有2个作用，一是用来求面积或者体积，否则，