隐函数与参数式函数的求导

1第四节隐函数及由参数方程所确定函数的导数一、隐函数的求导法则这种对应关系可以有多种表示方式.例如,方程:133yx函数()yfx刻画了变量y与x的对应关系.1、隐函数的定义常见的表示方式为sin,yx22ln(),.....yxxa上述函数称为显式函数.此外,y与x的对应关系还可以通过方程(,)0Fxy来体现.可以确定函数331.yx方程:ee0yxxy也确定了一种函数对应关系.2定义对于,xy的二元方程(,)0Fxy,若存在函数()yyx使得(,())0Fxyx,则称()yyx是由方程(,)0Fxy所确定的隐函数.例如：函数331yx就是由方程133yx确定的隐函数.因为3333(1)10.xx注：并不是所有的方程都可以确定隐函数的.一个方程能确定隐函数是需要满足一定条件的.例如方程221xy在实数域内不存在隐函数.3部分隐函数可以显化，即从方程中解出y(x)的表达式.331xy331.yx显化但许多隐函数不易或者不能显化.例如：Keplersin0(01).yxy方程：ee0.yxxy方程：问题:如何求隐函数的导数？（这里假设隐函数存在且可导，至于隐函数存在且可导所需的条件，下学期学习.）情形1:隐函数可以显化,显化后求导即可.情形2:隐函数无法显化,应用隐函数求导法则求导.4例1设()yyx是由方程ee0yxxy所确定的隐函数,求ddyx.解()yyx是方程ee0yxxy确定的隐函数()ee()0.yxxxyx上述方程两边关于x求导，得()ee()0.yxxxyx()e()e()()0.yxxyxyxxyx()e()().exyxyxyxx()(e)()e()yxxxyxyx5例1设()yyx是由方程ee0yxxy所确定的隐函数,求ddyx.解上述过程亦可如下表述：ee0.yxxyee0.yxyyxye.exyyyx(e)eyxxyy方程两边关于x求导，注意y是x的函数6隐函数求导法则思想:在方程(,)0Fxy中,将y视作x的函数,从中解出即可.y应用复合函数求导法则直接对方程关于x进行求导，例2210dcos0.dxyyxyyx求由方程确定的隐函数的导数解方程两边关于x求导（注意y是x的函数)，得2sin0xyyy21sinxyy，解得1100d22.d1sinxxyyyxxy7求椭圆14922yx在点)324,1(P处的切线方程.即0923yx.例3解22094xyy，49xyy，26Pky，所以所求切线方程为：422(1)36yx，方程两边关于x求导，得8例4设()yyx是由方程0cos2yyx所确定的隐函数,求2120d.dxyyx解由例2得，10d2d,2.d1sindxyyxyxyx22(1sin)2(1sin)(1sin)yxyyy222(1sin)2cos1sin(1sin)xyxyyy2232(1sin)4cos(1sin)yxyy，22(1sin)2cos(1sin)yxyyyy2120d2.dxyyx9例4设()yyx是由方程0cos2yyx所确定的隐函数,求2120d.dxyyx另解原方程两边关于x求导，得2sin0xyyy1,0,xy代入可得10|2.xyy上式两边继续关于x求导，得22cos()sin0yyyyy101,0,|2xyxyy代入可得10|2.xyy21110002|cos0(|)sin0|0xxxyyyyyy10二、对数求导法方法：先对函数两边取对数,利用对数性质化简,然后应用隐函数求导的方法求得导数.回顾对数性质：)(logMNaNMalogpaMlog对数恒等式log,xaaxlog.axaxloglog;aaMNloglog;aaMNlog;apM11例5解等式两边取对数,化简23ln(1)ln1ln(4)lnexxxx32(1)1.(4)exxxyx求函数的导数32(1)1lnln(4)exxxyx123ln(1)ln(1)ln(4)lnexxxx1ln(1)ln(1)2ln(4)3xxxx23ln[(1)1]ln[(4)e]xxxx12,0x;1)(lnxx,0x)(1xx,1x])[ln(x所以.1)||(lnxx严格来讲,取对数时应取绝对值,如||ln2ln2xx,说明：但因为xx/1)||(ln,故省略绝对值.13例5解等式两边取对数,化简得32(1)1.(4)exxxyx求函数的导数1ln(1)ln(1)2ln(4)3xxxx32(1)11121(4)e13(1)4xxxyxxxx求导得上式两边对x112113(1)4yyxxx32(1)1lnln(4)exxxyx14例6sine,.(21)(34)xxyyxx设求解sinelnln(21)(34)xxyxxsin1eln2(21)(34)xxxx等式两边取对数,化简sin1[lnlneln(21)ln(34)]2xxxx1[lnsinln(21)ln(34)]2xxxxsin1[lneln(21)(34)]2xxxx15例5sine,.(21)(34)xxyyxx设求解等式两边取对数,化简1ln[lnsinln(21)ln(34)]2yxxxxsin1e123[cos].2(21)(34)2134xxyxxxxxx求导得上式两边对xyy注意：需把y换回成原来表达式.勿丢1123[cos]22134xxxx16例6sine,.(21)(34)xxyyxx设求本题常见问题：sinsineelnln,ln...(21)(34)(21)(34)xxxyxyxxyxxsin1ln[lneln(21)(34)]2xyxxx1、为取对数而取对数,没有任何化简.比原式更繁.2、虽然进行了化简,但没有化简到最简单,就急着求导.sinsin(21)(34)1(e)[]....2e(21)(34)xxxxyxyxxx17例7解.),0(yxxyx求设等式两边取对数得lnlnxyx求导得上式两边对x,1lnxyy)1(lnxyy.)1(lnxxx另解)(xx)e(lnxx)ln(elnxxxx)1(lnelnxxx.)1(lnxxxlnxx)e(lnxx对数恒等式)(lne)(xfxf18例8解sin(tan)(tan0),.xyxxy设求等式两边取对数得sinlnln(tan)xyx求导得上式两边对xyysinlntanxxcoslntansecxxx(coslntansec)yyxxxsin(tan)(coslntansec).xxxxxcoslntanxx21sinsectanxxx19作业972(2,4,9),3(2,4,5)P20知识回顾1、隐函数求导法则在方程(,)0Fxy中,将y视作x的函数,应用复合从中解出即可.y求导法则直接对方程关于x进行求导,得包含的方程，y2、对数求导法方法：先对函数两边取对数,利用对数性质化简,然后应用隐函数求导的方法求得导数.适用题型：由多个初等函数通过乘、除、乘方、开方运算所构成的复杂函数和幂指函数.21例9解.dd,xyyxxy求设等式两边取对数得,lnlnyxxy方程两边关于x求导,得lnyyxx.lnln22xxxyyyxyy(ln)lnxyxyyyxln,xyyy22三、由参数方程所确定的函数的导数(),()xtyxyt若参数方程确定了与间的函数关系1()(),xttx设函数具有单调连续的反函数1[()].yx则(),(),()0,xtytt再设函数都可导且由复合函数及反函数的求导法则可得xttyxyddddddtxtydd1dd，)()(tttxtyxydddddd即则称此函数为由参数方程确定的参数式函数.23则有二阶可导若函数,)(,)(tytx22ddd()dddyyxxx22()()d.d()ttyxtdd()ddd()dyyttxxtt，(),()xtytddd()dddyttxxd()d()ddtttxt()().()ttt即勿丢22d().d()ytxt注：书上那个很复杂的公式不用去记忆.24例10解设ttytxarctan)1ln(2，求.dd,dd22xyxyd()d()yytxxt2211121ttt,2t222d2dln(1)tyxt21221tt21.4tt本例中,若这样求二阶导数：21)2()dd(dd22txyxy，则是错解，因为这样是对参数t求导而非对自变量x求导.2arctanln(1)ttt25例11解.)(sincos33的二阶导数所确定的函数求由方程xfytaytax223sincos3cos(sin)attatttant，223d(tan)d(cos)ytxattaMPSNQxyoHAa33d()(sin)d()(cos)yytatxxtat22sec3cossintatt4sec.3sintat26例12解d(1cos)d(sin)yatxattsin1costt，sincosataat2d1.dtykx.2)cos1()sin(处的切线方程在求摆线ttayttax.),12(,2ayaxt时当所求切线方程为，)12(axay.)22(axy即xyotaMPSNQ