隐函数微分法

第八章第五节多元隐函数微分法本节主要内容一、由一个方程确定的隐函数的微分法二、由方程组确定的隐函数的微分法一、多元隐函数的概念函数。、由一个方程确定的隐1一元函数在一定条件下确定一个方程0),(yxF确定的隐函数；，称之为由0),()(yxFxfy二元在一定条件下确定一个方程0),,(zyxF确定的隐函数；，称之为由0),,(),(zyxFyxfz在一定条件一般地说，方程021),,,,(zxxxFn，称之为由方程元函数确定一个),,,(nxxxfzn21确定的隐函数。021),,,,(zxxxFn2、由方程组确定的隐函数在一定条件下方程组00),,(,),,(zyxGzyxF称为由方程组确定两个一元函数),(),(xzzxyy确定的隐函数；在一定条方程组00),,,(,),,,(vuyxGvuyxF的隐，称为由此方程组确定件下确定两个二元函数函数；个方程个自变量的一般地说，由含有)(nmmn元个可确定方程组，在一定条件下)(mnm构成的函数。定理1：设方程满足：中函数FyxF0),(一阶偏导数；的某一邻域内有连续的在),(00(i)yxF；0(ii)00),(yxF，0(iii)00),(yxFy，0))(,(xfxF，)(00xfy。且yxFFdxdy二、由一个方程确定的隐函数的微分法一个具有连续导的某一邻域内惟一确定则在),(00yx，它满足数的函数)(xfy隐函数求导公式说明：(1)0yF为什么？00(2)(,)0xFxy若说明什么？)(yxx能确定隐函数的某一邻域内能惟在点验证方程例),(1011yxey，适数的函数一确定一个具有连续导)(xfy。和，并求出合022010xxdxyddxdyf)(，则令证：1yxeyxFy),(；010ii)),((F01110iii10),()(),()(yyxeF导数；的邻域内显然有连续偏在),(),()(10iyxF),(xfy故存在；得且由10010)(),(fF，得，1yyyxxeFeF。1yyxeedxdyedxdyx022dxyd。20222edxydx，21)()(yyyxeeye1yyxeedxd211)()()(yyyyyyxeyxeeeyexe例2验证方程0122yx在点)1,0(的某邻域内能唯一确定一个可导、且0x时1y的隐函数)(xfy，并求这函数的一阶和二阶导数在0x的值.解令1),(22yxyxF则,2xFx,2yFy,0)1,0(F,02)1,0(yF依定理知方程0122yx在点)1,0(的某邻域内能唯一确定一个可导、且0x时1y的函数)(xfy．函数的一阶和二阶导数为yxFFdxdy,yx,00xdxdy222yyxydxyd2yyxxy,13y.1022xdxyd)11(,12xxy事实上，这个函数就是例3已知xyyxarctanln22，求dxdy.解令则,arctanln),(22xyyxyxF,),(22yxyxyxFx,),(22yxxyyxFyyxFFdxdy.xyyx.dd,)sin(xyxyyx求练习：设,)sin()(:则令解xyyxx,yF.)cos()cos(xyxyxyxyxyyx)cos()cos(yxFFdxdy,0)cos(时当xyxFy.)cos(xyxFy,)cos(yyxFx.及,或者，,或者，,可得二元函数0,设有方程xzyxzyyzxyxzzyx222)?,,(或者,),,(可确定隐函数什么条件下，这些方程在0,),,,(或者，0,),,(，设有方程地一般2121nnxxxfuyxfzuxxxFzyxF,0),,(.2zyxF隐函数存在定理2(1)设函数),,(zyxF在点,(0xP),00zy的某一邻域内有连续的偏导数，(2),(0xF0),00zy，(3)0),,(000zyxFz，则方程,,(yxF0)z在点),,(000zyxP的某一邻域内恒能唯一确定一个具有连续偏导数的函数),(yxfz，它满足条),(000yxfz，并有隐函数的求导公式zxFFxzzyFFyz求导公式推导：求导，得和两边分别对0,)),(,,(由yxyxfyxF,FFxzzx,FFyzzy,xzFFzx0,yzFFzy0说明：的求法？xz)2(说明什么？改为若条件0),,()3()1(000zyxFx),(zyxx能确定隐函数元方程可推广到1)3(n例4设04222zzyx，求22xz.解令则,4),,(222zzyxzyxF,2xFx,42zFz,2zxFFxzzx22xz2)2()2(zxzxz2)2(2)2(zzxxz.)2()2(322zxz例5设),(xyzzyxfz，求xz，yx，zy.思路：把z看成yx,的函数对x求偏导数得xz，把x看成yz,的函数对y求偏导数得yx，把y看成zx,的函数对z求偏导数得zy.解法一（直接求导）解法二(公式法）),(),,(xyzzyxfzzyxF令yzffFx211则xzffFy211xyffFz2111zxFFxz于是21211fxyffyzfxyFFyx21211fxzffxyfyzFFzy2121fyzffxzf01012zyxzyx;)xx(y)x(xz22221210202vuyxvuyx;y)(xuy)x(v321321例如又如三、方程组确定的隐函数的微分法.,,,,,21221111222121121122211222112112222111211DDyDDxbabaDababDaaaaaaaaDbyaxabyaxa则系数行列式式解法：二元一次方程组的行列的雅可比行列式对变量，）函数（）（数；某邻域具有连续的偏导在点，）（满足条件：，设两个函数定理zyGFzyxGzyxFzyxGFGF,3;0),,(,0),,(2),,(13000000000.),()(),();(0),,(0),,(0000续这两个函数的导函数连，并且满足唯一确定一组单值函数方程组xzzxyyxzzxyyzyxGzyxF0zyzyGGFF的某邻域，在此邻域内则存在点),,(000zyx求导公式推导如下：求导，得两边对中,在方程组xx,zxx,yGx,zxx,yF,0))()((;0))()((0101dxdzGdxdyGGdxdzFdxdyFFzyxzyxxzyxzyGdxdzGdxdyGFdxdzFdxdyF时，当0zyzyGGFF,,zyzyxyxyzyzyyxzxGGFFGGFFdxdzGGFFGGFFdxdy.,)(),(,01;06222dxdzdxdyxzxyzyxzyx的导数确定的函数：求由方程组例,01;0222dxdzdxdydxdzzdxdyyxx求导数，得解：方程组两边对,1;222dxdzdxdyxdxdzzdxdyy时，当0221122zyzyzyzxzyzxzyzxdxdy2222221122zyyxzyxyzyxydxdz2222221122zyzxzyzxzyzxdxdy2222221122隐函数存在定理3(1)设),,,(vuyxF、),,,(vuyxG在),,,(0000vuyxP的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，(2)0),,,(0000vuyxF,),,,(0000vuyxG0，(3)偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）vGuGvFuFvuGFJ),(),(0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF一般地，方程组满足什么条件，可以确定函数?),(),,(yxvvyxuu在点),,,(0000vuyxP的某一邻域内恒能唯一确定一组具有连续偏导数的函数),(yxuu,),(yxvv，它们满足条件),(000yxuu,vv0),(00yx，并有,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu在不等于零时，则方程组0),,,(vuyxF0),,,(vuyxGvuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu.),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv求导公式推导如下:求导，得两边对中,0)),(),,(,,(0)),(),((在方程组xyxvyxuyxGyxvx,yuyxF,,00xvGxuGGxvFxuFFvuxvuxxvuxvuGxvGxuGFxvFxuF公式.例7设0yvxu，1xvyu，求xu，yu，xv和yv.解法一直接代入公式；解法二运用推导公式的方法，将所给方程的两边对求导并移项x,vxvxxuyuxvyxuxxyyxJ,22yx在0J的条件下，xyyxxvyuxu,22yxyvxuxyyxvyuxxv,22yxxvyu将所给方程的两边对求导，用同样方法得y,22yxyuxvyu.22yxyvxuyv.dxdyx,yxtyxeyty的函数，求确定的而t是由方程,已知例18222).(,)，,(),(xyyxeyyxttyxyt解法一：求导，得两边关于对方程xxeyx,yyt)(1,])[(dxdytydxdyytxtedxdyty,tyyt,txxtxtyyxtt确定由方程1222),(;)(，tytyetytxyetdxdy22解得1,])[(dxdytydxdytytxedxdyty代入上式得解法二：,0222)(xdxtdtydydxtdyydtedyty，由第二式tydyxdxdtdxdydxtdytydyxdxyedyty)(代入第一式，得;)(22tytyetytxyet得对方程组求微分,例9设有方程),,(yxfu,0),(0),,(zxhzyxg及.,,.具有连续的偏导数其中求hgfdxdu.zhygxhzgzhxgyfxfdxdu所确定的的函数，x而是由方程y已知)(zyzx，其中为可微函数，求?yzyxzx练习zyzyxzx.（分以下几种情况）隐函数的求导法则0),()1(yxF0),,()2(zyxF