隐函数的求导方法

目录上页下页返回结束第九章第五节一、一个方程所确定的隐函数及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数的求导方法1)方程在什么条件下才能确定隐函数.例如,方程C0时,能确定隐函数C0时,不能确定隐函数2)方程能确定隐函数时,研究其连续性,可微性及求导方法问题.本节讨论:目录上页下页返回结束一、一个方程所确定的隐函数及其导数什么是隐函数？显函数:23sin25xyxxe4ln(1)xyx目录上页下页返回结束隐函数:(,)0Fxy()yyx二元方程一元隐函数如221xy()yyx有时可以将隐函数显化：221xy21yx21yx或者目录上页下页返回结束122yx21xy21xy目录上页下页返回结束xyyx633又如)(xyy但很难显化笛卡尔叶形线目录上页下页返回结束xyyx633)(xyy个单值函数曲线可以局部地确定一轴的点附近在切线不平行于y目录上页下页返回结束xyyx633值函数可以确定三个不同的单）程（或者它代表的图形在不同的范围内，此方目录上页下页返回结束定理1.设函数),(00yxP;0),(00yxF则方程单值连续函数y=f(x),并有连续yxFFxydd(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：①具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足0),(00yxFy②③满足条件导数目录上页下页返回结束两边对x求导yxFFxydd0yF在的某邻域内则目录上页下页返回结束例157230(),dyyyxxyyxdx求方法一（公式法）57(,)23Fxyyyxx6121xFx452yFydydxxyFF6412152xy6412152xy目录上页下页返回结束例157230(),dyyyxxyyxdx求方法二（直接求导法）方程两边对x求导，把y视为函数。57(23)'0yyxx465'2'1210yyyx64121'52xyy目录上页下页返回结束例157230(),dyyyxxyyxdx求方法三（微分法）方程两边同时微分57(23)(0)dyyxxd4652210ydydydxxdx解出：6412152dyxdxy目录上页下页返回结束若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFF)(yxFFy)(2yxyxyyyyxFFFFFFF二阶导数:)(yxFFxxydd则还可求隐函数的yxFFxydd目录上页下页返回结束由一个三元方程确定的隐函数二元显函数：23sin5xyzxyxyeln()xyzxy目录上页下页返回结束二元隐函数：(,,)0Fxyz(,)zzxy三元方程二元隐函数：如2222xyzR(,)zzxy可以显化2222xyzR222zRxy222zRxy目录上页下页返回结束2222Rzyx222yxRz222yxRz目录上页下页返回结束),(2yxzzzeyxz函数无法显化，无法写成显目录上页下页返回结束定理2.若函数),,(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某邻域内具有连续偏导数;则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足;0),,(000zyxF,0),,(000zyxFz①在点满足:②③某一邻域内可唯一确目录上页下页返回结束0)),(,,(yxfyxF两边对x求偏导xFzxFFxzzyFFyz同样可得则zFxz0目录上页下页返回结束例22(,),,zzzxyezzzxyxy求方法一（公式法）2(,,)zFxyzxyez1xF2yFy1zzFezxxzFF11zezyyzFF21zye目录上页下页返回结束例22(,),,zzzxyezzzxyxy求方法二（求偏导）方程两边对x求偏导，把z视为函数，y视为常数。2()'zxxxyez10zxxezz11xzze目录上页下页返回结束例22(,),,zzzxyezzzxyxy求方法三（微分法）方程两边同时微分2()zdxyedz2zdxydyedzdz21zdxydydzezx11zezy21zye目录上页下页返回结束例222(,),zzxyezzzxyxy求12,11zzzzyxeye2zxy()zyx1()'1yze2(1)'(1)zyzee2(1)zyzeze32(1)zzyee目录上页下页返回结束课内练习设04222zzyx，求22xz.解令则,4),,(222zzyxzyxF,2xFx,42zFz,2zxFFxzzx22xz2)2()2(zxzxz2)2(2)2(zzxxz.)2()2(322zxz目录上页下页返回结束练习(,)0(,),zzxazybzzzxyabxy求解：(,)dxazybz12'()'()dxazdybz12'()'()dxadzdybdz1212''('')dxdyabdz12121('')''dzdxdyab112'''zxab212'''zyab1zzabxy目录上页下页返回结束二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu由F、G的偏导数组成的行列式vuvuGGFFvuGFJ),(),(称为F、G的雅可比行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即雅可比目录上页下页返回结束定理3.,0),,,(0000vuyxF的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组0),,,(,0),,,(vuyxGvuyxF③),(00yx在点的单值连续函数),,(,),(yxvvyxuu且有偏导数公式:①在点②的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足:,0),(),(PvuGFPJ;0),,,(0000vuyxG导数；,),(000yxuu),(000yxvv目录上页下页返回结束vuvuGGFFvuGFJ),(),(定理证明略.仅推导偏导数公式如下：),(),(1vxGFJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyvvvvuvuGFGGFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1(P85)xxGFyyGFxxGFyyGF目录上页下页返回结束,,的线性方程组这是关于xvxu0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF有隐函数组则两边对x求导得设方程组,0vuvuGGFFJ在点P的某邻域内xuxvxuxvxFuFvF0xGuGvG0解的公式故得系数行列式xuvuvuGGFFvxvxGGFF目录上页下页返回结束xuxvxuxvxFuFvF0xGuGvG0同样可得),(),(1vyGFJyu),(),(1vxGFJxu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv目录上页下页返回结束例3.设,1,0vxuyvyux.,,,yvxvyuxu解:xyyxJJxu122yxvxuyyu方程组两边对x求导，并移项得求vxvxxuyxvyu22yxvyuxJxv122yxuyvx练习:求yvyu,uxvyxux022yx22yxvyuxyv答案:由题设故有目录上页下页返回结束例3.设,1,0vxuyvyux.,,,yvxvyuxu求解法2（微分法）方程组两边同时微分0udxxduvdyydv0udyyduvdxxdvdvudxvduxdyydvvdxuduydxy用Gramer法则yxxyydudxvdyvxudxudy22()()udxvdyvdxudxyxyy2222xuyvxvyudxdyxyxy目录上页下页返回结束2222xuyvxvyudxdyxduyxy22xuyvuxyx22uxvyuyxy显然，利用全微分法求偏导数更简便目录上页下页返回结束例4.设函数在点(u,v)的某一1)证明函数组(x,y)的某一邻域内2)求解:1)令0),(),,,(vuxxvuyxF0),(),,,(vuyyvuyxG对x,y的偏导数.在与点(u,v)对应的点邻域内有连续的偏导数,且唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数目录上页下页返回结束0),(),,,(vuxxvuyxF0),(),,,(vuyyvuyxG①式两边对x求导,得uy0xvxu1xuxvuxvxvy则有),(),(vuGFJ,0),(),(vuyx由定理3可知结论1)成立.2)求反函数的偏导数.①②目录上页下页返回结束uy0xvxu1xuxvuxvxvy②,0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJuyJ1011uyuxJ从方程组②解得同理,①式两边对y求导,可得,1vxJyuuxJyv1目录上页下页返回结束xuxv例4的应用:计算极坐标变换sin,cosryrx的反变换的导数.xrx同样有22yxyyr22yxxy所以由于vyJ1uyJ1cos1rrsin1rryJ1cos22yxxryJ122yxyrruv目录上页下页返回结束内容小结1.隐函数(组)存在定理2.隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.利用微分形式不变性;方法3.代公式.思考与练习设求目录上页下页返回结束zx提示:),(zyxzyxfzxz1fxz12fxzyxzyxz21fzyf211fyxf•11f1zx2fyxzxzy•211fyxf21fzyfyx01f1yx2fzxyxzy•21fzxf21fzyf目录上页下页返回结束),(zyxzyxfz解法2.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.,yxzd1fzyxddd2fzyxyzxxzyddd:dx解出dx21fzyfzfyxfd121yfzxfd21.zx第六节由dy,dz的系数即可得作业P892,8，9,10(1);(3)目录上页下页返回结束,2eyxyx备用题分别由下列两式确定:又函数有连续的一阶偏导数,1.设解:两个隐函数方程两边对x求导,