隐函数的求导法则

0),(.1yxF隐函数存在定理1设函数),(yxF在点),(00yxP的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00yxF，0),(00yxFy，则方程0),(yxF在点),(00yxP的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(xfy，它满足条件)(00xfy，并有yxFFdxdy.隐函数的求导法则一、一个方程的情形例１　验证方程0122yx在点)1,0(的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且0x时1y的隐函数)(xfy，并求这函数的一阶和二阶导数在0x的值.解令1),(22yxyxF则,2xFx,2yFy,0)1,0(F,02)1,0(yF依定理知方程0122yx在点)1,0(的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且0x时1y的函数)(xfy．函数的一阶和二阶导数为yxFFdxdy,yx,00xdxdy222yyxydxyd2yyxxy,13y.1022xdxyd例2已知xyyxarctanln22，求dxdy.解令,arctanln),(22xyyxyxF则,),(22yxyxyxFx,),(22yxxyyxFyyxFFdxdy.xyyx0),,(.2zyxF隐函数存在定理2设函数),,(zyxF在点,(0xP),00zy的某一邻域内有连续的偏导数，且,(0xF0),00zy，0),,(000zyxFz，则方程,,(yxF0)z在点),,(000zyxP的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz，它满足条件),(000yxfz，并有zxFFxz，zyFFyz.)(,),,(xysxrsrFuursx),(),,,(yxzzzyxFuuxyzxy例3设04222zzyx，求22xz.解令,4),,(222zzyxzyxF则,2xFx,42zFz,2zxFFxzzx22xz2)2()2(zxzxz2)2(2)2(zzxxz.)2()2(322zxz例4设),(xyzzyxfz，求xz，yx，zy.思路：把z看成yx,的函数对x求偏导数得xz，把x看成yz,的函数对y求偏导数得yx，把y看成zx,的函数对z求偏导数得zy.解令,zyxu,xyzv则),,(vufz把z看成yx,的函数对x求偏导数得xz)1(xzfu),(xzxyyzfv整理得xz,1vuvuxyffyzff把x看成yz,的函数对y求偏导数得把y看成zx,的函数对z求偏导数得)1(1zyfu),(zyxzxyfv整理得zy.1vuvuxzffxyff)1(0yxfu),(yxyzxzfv整理得yx,vuvuyzffxzff二、方程组的情形1、对于方程组0),,(0),,(zyxFzyx怎样求偏导数首先应明确这个方程组确定了几个几元隐函数当x给定以后相当于解含关于y,z的方程组如果有解且唯一则对于不同的x就完全确定了y,z故方程组确定了两个一元隐函数y=y(x),z=z(x)若0zyzyFFJ则,1zxzxFFJdxdyxyxyFFJdxdz1怎样求dxdzdxdy,0),,(zyxF两边对x求导注意左边是复合函数（三个中间变量），0dxdzFdxdyFFzyx同理0dxdzdxdyzyx2、0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF隐函数存在定理3设),,,(vuyxF、),,,(vuyxG在点),,,(0000vuyxP的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且0),,,(0000vuyxF,),,,(0000vuyxG0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）vGuGvFuFvuGFJ),(),(在点),,,(0000vuyxP不等于零，则方程组0),,,(vuyxF、0),,,(vuyxG在点),,,(0000vuyxP的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxuu，),(yxvv，它们满足条件),(000yxuu,vv0),(00yx，并有vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv),(),(1,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu.),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv例5设0yvxu，1xvyu，求xu，yu，xv和yv.解1直接代入公式；解2运用公式推导的方法，将所给方程的两边对求导并移项x,vxvxxuyuxvyxuxxyyxJ,22yx在0J的条件下，xyyxxvyuxu,22yxyvxuxyyxvyuxxv,22yxxvyu将所给方程的两边对y求导，用同样方法得,22yxyuxvyu.22yxyvxuyv注这组公式不太好记，具体做题时应用的是其基本思想关于隐函数求二阶偏导数以0),,(zyxF为例，主要有三种方法：①公式法,zxFFxz222)()(zzxzxFFxFFFxz]2[1223xzzzxxzzxxzFFFFFFFF类似地可求得222,yzyxz②直接法方程两边连续求导两次0xzFFzx0)(2222xzFxzFxzFFzzzxzxx解得：22xz]2[1223xzzzxxzzxxzFFFFFFFF两种方法相比，法二较简便，因为可避免商的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，毋须解出一阶偏导数而是将其具体数值代入即可求得二阶偏导数，使运算大为简化。`BdyAdxdzyzBxzA,则这样一次就可求得全部的一阶偏导数。③全微分法利用全微分形式不变性，在所给的方程两边直接求全微分三、小结隐函数的求导法则（分以下几种情况）0),()1(yxF0),,()2(zyxF0),,,(0),,,()4(vuyxGvuyxF0),,(0),,()3(zyxzyxF思考题已知)(zyzx，其中为可微函数，求?yzyxzx思考题解答记)(),,(zyzxzyxF,,1)(zzyFy,)()(22zyzyzxFz,)(zyyxzFFxzzx,)()(zyyxzyzFFyzzy于是zyzyxzx.练习题一、填空题:1、设xyyxarctanln22,则dxdy___________________________.2、设zxyz,则xz___________________________,yz___________________________.二、设,32)32sin(2zyxzyx证明：.1yzxz三、如果函数),,(zyxf对任何t恒满足关系式),,(),,(zyxfttztytxfk,则称函数),,(zyxf为k次齐次函数,试证:k次齐次函数满足方程),,(zyxkfzfzyfyxfx.四、设.,3233yxzaxyzz求五、求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数:1、设203222222zyxyxz,求.,dxdzdxdy2、设),(),(2yvxugvyvuxfu，求.,xvxu（其中gf,具有一阶连续偏导数）六、设函数)(xu由方程组0),(0),,(),(zxhzyxgyxfu所确定,且.,0,0dxduzhyg求(hgf,,均可微)七、设),,(txfy而t是由方程0),,(tyxF所确定的yx,的函数,求.dxdy八、设),(yxzz由方程),(xzyyxxF=0所确定,证明:xyzyzyxzx.练习题答案一、1、yxyx；2、yyxzzzzxxlnln1；3、yyxzzyzxzln11.四、3222242)()2(xyzyxxyzzzyxz.五、1、13,)13(2)16(zxdxdzzyzxdxdy；2、12211221)12)(1()12(gfgyvfxgfgyvfuxu,1221111)12)(1()1(gfgyvfxfufxgxv.六、zyxzyyxxxhghgfggffdxduzyxzyzxxzyxhghgfhgfhgf.七、tyttxxtfFFfFfFdxdy.