第1章 习题课分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用

课前探究学习课堂讲练互动习题课分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用课前探究学习课堂讲练互动【课标要求】在理解掌握两个计数原理的基础上，能根据问题的特征，正确选择计数原理解决实际问题．【核心扫描】对较复杂的计数问题，能够明确和理解题目中所讲的“一件事”是什么，完成这件事的含义和标准是什么，进而分析出完成这件事是“分步”还是“分类”，还是既要“分类”又要“分步”．(重、难点)课前探究学习课堂讲练互动1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题．其区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各步的每一种方法只能完成任务的一部分，并且完成这件事的任何一种方法都需要分步．只有各个步骤都完成之后才算做完这件事．自学导引相互独立课前探究学习课堂讲练互动2．应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理的关键是弄清楚是“分类”还是“分步”，接下来还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准是什么．想一想：综合应用两个计数原理计数的关键是什么？分类中能否涉及分步，分步中能否涉及分类？提示解答的关键在于搞清问题是先分类还是先分步，而且分类中还可能涉及分步，分步中还可能涉及分类．课前探究学习课堂讲练互动数字等综合性计数问题求解方法1．直接综合运用两个原理解决首先要明确是先“分类”后“分步”，还是先“分步”后“分类”；其次在“分类”和“分步”的过程中，均要确定明确的分类标准和分步程序．2．利用一些非常规计数问题的解决方法(1)枚举法将各种情况通过树图、表格等方法一一列举出来，它适用于计数种数较少时，分类计数时将问题分类实际也是将分类种数一一列举出来．名师点睛课前探究学习课堂讲练互动(2)间接法若计数时分类较多，或无法直接计数时，可用间接法先求出没有限制条件的总数，再减去不满足条件的种数，即正难则反．(3)转换法转换问题的角度或转换成其他已知的问题，在实际应用中，应根据具体问题，灵活处理.课前探究学习课堂讲练互动题型一组数问题【例1】用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的比2000大的4位偶数？[思路探索]按末位是0、2、4分为三类或按千位是2、3、4、5分为四类来求解，或按间接法来求解．解法一按末位是0,2,4分为三类：第一类：末位是0的有4×4×3＝48个；第二类：末位是2的有3×4×3＝36个；第三类：末位是4的有3×4×3＝36个；则由分类加法计数原理有N＝48＋36＋36＝120(个)．课前探究学习课堂讲练互动法二按千位是2,3,4,5分四类：第一类：千位是2的有2×4×3＝24(个)；第二类：千位是3的有3×4×3＝36(个)；第三类：千位是4的有2×4×3＝24(个)；第四类：千位是5的有3×4×3＝36(个)．则由分类加法计数原理有N＝24＋36＋24＋36＝120(个)．课前探究学习课堂讲练互动法三间接法用0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字的四位偶数分两类：第一类：末位是0的有5×4×3＝60个；第二类：末位是2或4的有2×4×4×3＝96个．共有60＋96＝156(个)．其中比2000小的有：千位是1的共有3×4×3＝36(个)，所以符合条件的四位偶数共有156－36＝120(个)．课前探究学习课堂讲练互动[规律方法]对于组数问题的计数，一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，每类中再分步来计数；但当分类较多时，可用间接法先求出总数，再减去不符合条件的数去计数．课前探究学习课堂讲练互动【变式1】在3000到8000之间有多少个无重复数字的奇数？解分两类：一类是以3,5,7为首位的四位奇数，可分三步完成：先排首位有3种方法，再排个位有4种方法，最后排中间两个数有8×7种方法，所以共有3×4×8×7＝672(个)．另一类是首位是4或6的四位奇数，也可分三步完成，共有2×5×8×7＝560(个)．由分类加法计数原理得，共有672＋560＝1232(个)．课前探究学习课堂讲练互动题型二涂色问题【例2】将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？[思路探索]涂色问题一般首先采用分步法逐一涂色，当某一区域(如D)的颜色影响下一个区域(如E)的涂色方法时，则必须对该区域(D)进行分类．课前探究学习课堂讲练互动解A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色依赖于B与D涂色的颜色，如果B与D颜色相同有2种，如果不相同，则只有一种，因此应先分类后分步．(1)当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48种．(2)当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24种．故共有48＋24＝72种不同的涂色方法．课前探究学习课堂讲练互动[规律方法]涂色问题是由两个基本原理的综合运用所产生的一类问题，这类问题是计数原理应用的典型问题，首先是分清颜色的数目和在不相邻的区域内是否可以使用同一种颜色，解题的关键是对每个区域逐一涂色．课前探究学习课堂讲练互动【变式2】(1)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求不同的种植方法．(2)如图将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．课前探究学习课堂讲练互动解(1)法一黄瓜种在第一块土地上有3×2＝6(种)．同样，黄瓜可种在第二块、第三块土地上，共有不同的种法：6×3＝18(种)．法二第1步，将黄瓜种在其中的一块地上，有3种种法；第2步，剩下的两块地分别有3种，2种种法．根据分步乘法计数原理，共有3×3×2＝18种种法．(2)按照S→A→B→C→D的顺序分类．第一类：A、C涂相同颜色有5×4×3×1×3＝180(种)；第二类：A、C涂不同颜色有5×4×3×2×2＝240(种)．共有染色方法：180＋240＝420(种)．课前探究学习课堂讲练互动题型三选取、抽取问题【例3】甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，再各取1张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？审题指导可用列举法、分步法或间接法求解．[规范解答]法一枚举法(1)甲取得乙卡，分配方案如表．此时乙有甲、丙、丁3种取法．若乙取甲，则丙取丁、丁取丙，故有3种分配方案．课前探究学习课堂讲练互动(2)甲取得丙卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取贺卡如下：丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲．(3)甲取得丁卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取贺卡如下：丁甲乙丙、丁丙甲乙、丁丙乙甲．由分类加法计数原理，共有3＋3＋3＝9种．(12分)法二间接法4个人各取1张贺卡．甲先取1张贺卡有4种方法，乙再取1张贺卡有3种方法，然后丙取1张贺卡有2种方法，最后丁仅有1种方法．由分步乘法计数原理，4个人各取1张贺卡共有4×3×2×1＝24种．课前探究学习课堂讲练互动4个人都取自己写的贺卡有1种方法；2个人取自己写的贺卡，另2个人不取自己所写贺卡方法有6种(即从4个人中选出取自己所写的贺卡的2人有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁)；1个人取自己写的贺卡，另3个人不取自己所写贺卡方法有8种(从4个人中选出自己写贺卡的1个人有4种方法，而3个人都不取自己所写贺卡的方法有2种方法)．因此，4个人都不取自己所写贺卡的取法有24－(1＋6＋8)＝9种．(12分)课前探究学习课堂讲练互动法三分步法第一步，甲取1张不是自己所写的那张贺卡，有3种取法；第二步，由甲取的那张贺卡的供卡人取，也有3种取法；第三步，由剩余两个中任1个人取，此时只有1种取法；第四步，最后1个人取，只有1种取法．由分步乘法计数原理，共有3×3×1×1＝9种．(12分)课前探究学习课堂讲练互动【题后反思】对于有限制条件的选取、抽取问题的计数，一般地，当数目不很大时，可用枚举法，但为保证不重不漏，可用树图法、框图法及表格法进行枚举；当数目较大符合条件的情况较多时，可用间接法计数；否则直接用分类或分步计数原理计数．但一般根据选(抽)顺序分步或根据选(抽)元素特点分类．课前探究学习课堂讲练互动【变式3】电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封．现由主持人抽奖确定幸运观众．若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？解分两类：(1)幸运之星在甲箱中抽，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有30×29×20＝17400种结果；(2)幸运之星在乙箱中抽，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有20×19×30＝11400种结果．因此共有17400＋11400＝28800种不同的结果．课前探究学习课堂讲练互动误区警示未选准分步依据致错【示例】甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，每门学科只有一名冠军产生，有多少种不同的冠军获得情况？[错解一]分4步完成这件事．第1步，第一名同学去夺3门学科的冠军，有可能1个也没获得，也可能获得1个或2个或全部，因此，共有4种不同情况；同理，第2、3、4步分别由其他3名同学去夺这3门学科的冠军，都各自有4种不同情况．由分步乘法计数原理知，共有4×4×4×4＝44＝256种不同的冠军获得情况．课前探究学习课堂讲练互动[错解二]分4步完成这件事．第1步，第一名同学去夺3门学科的冠军，有3种不同情况；同理，第2、3、4步分别由其他3名同学去夺这3门学科的冠军，都各自有3种不同情况．由分步乘法计数原理知，共有3×3×3×3＝34＝81种不同的冠军获得情况．课前探究学习课堂讲练互动要完成的“一件事”是“争夺3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有一名冠军产生”．但错解一、二中都有可能出现某一学科冠军被2人、3人，甚至4人获得的情形，另外错解一中还可能出现某一学科没有冠军产生的情况．课前探究学习课堂讲练互动[正解]可先举例说出其中的一种情况，如数学、物理、化学知识竞赛的冠军分别是甲、甲、丙，可见研究的对象是“3门学科”，只有3门学科各产生一名冠军，才完成了这件事，而4名同学不一定每人都能获得冠军，故完成这件事分3步．第1步，产生第1个学科冠军，它一定被其中一名同学获得，有4种不同的获得情况；课前探究学习课堂讲练互动第2步，产生第2个学科冠军，因为夺得第1个学科冠军的同学还可以去争夺第2个学科的冠军，所以第2个学科冠军也是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况；第3步，同理，产生第3个学科冠军，也有4种不同的获得情况．由分步乘法计数原理知，共有4×4×4＝43＝64种不同的冠军获得情况．课前探究学习课堂讲练互动上述问题研究的对象是3门学科，而不是4名同学，不同的学科冠军是可以被同一名同学夺得的．也就是说，用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题时，哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据.