现代控制理论(1-8讲：第1-2章知识点)

1《现代控制理论》第一章绪论经典控制理论解决了：SISO线性定常系统的分析与设计；采用二种方法：频率法和根轨迹法；局限性：它的分析方法一般是间接的，即从时域到频域；主要采用试探法，因而难于实现最优控制。随着科学技术的发展,系统向高精度、MIMO、时变、非线性发展,用经典控制理论难以解决,故20世纪60年代发展起来一种新的理论:现代控制理论。2现代控制理论优点:（1）线性系统理论（2）最优控制（3）系统辩识（4）最优估计（5）自适应控制等其分析方法是直接的，即直接采用时域的状态方程来分析，故可考虑初始条件，便于应用计算机，易于实现最优控制。线性系统理论是现代控制理论的基础,它研究的是用一阶线性微分方程组形式表现的物理对象。32-1动力学系统的状态空间表达式1、系统的状态：一、基本概念第二章控制系统的状态空间描述动力学系统的状态是表示系统的最小一组变量。只要知道了t=t0时的这组变量和t≧t0时的输入，则就可以完全确定该系统在任何时间t≧t0的行为。ex.任一三阶微分方程，其解的形式为：12()()()ttt自由分量(通解)由初始状态决定,即000(),(),()ttt强制分量(特解)由输入决定,即)(tuf4故：是能完全描述系统行为的最小一组变量，即为系统的状态。(),(),()ttt2、状态变量：若是能完全描述系统行为的最小变量组，那么该变量组中的每一个变量称为状态变量。)(,),(),(21txtxtxn3、状态向量：如果完全描述一个系统的行为需要n个状态变量，那么这些状态变量可以看作是向量x(t)的各个分量，即123()()()()()nxtxttxtxtx（状态向量）54、状态空间：以状态变量为坐标轴所张成的n维空间，称为状态空间。记为：)(,),(),(21txtxtxnnRxfufRfLFDConstnfDnfJ,ConstIfDfiai二、系统的状态空间表达式（直接法）例1：直流发电机—电动机系统(1).发电机激磁回路：fffffdiRiLudt6fufRfLFDConstnfDnfJ,ConstIfDfiai(2).发电机、电动机电枢回路：afffaaaediEKiRiLKdt(3).电动机力矩平衡方程：madJfKidt其中：Kf为发电机增益常数；Ke为电动机反电势常数。(Km-电动机转矩常数)以上三式可改写为：1ffffffdiRiudtLLfaeaafaaaKdiKRiidtLLLmaKdfidtJJ若令：系统的输出为角速度faixixx3217则有：331ffffRxxuLL2123feaaaaKKRxxxxLLL112mKfxxxJJ1yx写成矩阵形式，即为：112233000100mfeafaaafffKfxJJxKKRxxuLLLxxRLL即•x=Ax+Bu(状态方程)其中：A—系统矩阵；B—输入矩阵.而123100xyxxy=Cx(输出方程)其中：C—输出矩阵8例2：RLC电路.ieRLC0ei由KVL，有1idiLRiidtedtC（1）选为状态变量，有ixidtqx21,11idqidtdiRqiedtLCLL即112201011ixxeRxxLCLL9（2）选为状态变量，有ixidtCexc21,1111ccideidtCdiReiedtLLL即112210011ixxCexRxLLL小结a、由结构和参数已知的系统,直接建立状态空间表达式的问题,可归结为:依据物理定律得到系统的微分方程,并且将它化为状态变量所表示的一阶线性微分方程组;b、状态变量的选择不是唯一的；c、状态变量数等于系统微分方程的阶数.从数学上说,状态变量就是一组最大的线性无关组。10习题:1.111习题:1.1有线性电路如下图所示，设输入为u1，输出为u2，试自选状态变量比列写出其状态方程和输出方程。1u1R1q2R2q1c2c令，；11xq=22xq=或令，。2u11cux22cux12三、系统的状态空间表达式的一般形式：1、一般形式1111nrxfxxuut11nnnrxfxxuut即111111nrnnrnxfxxuutfxxuutxxFtxu而1111nrygxxuut11mmnrygxxuut13111111nrmnrmygxxuutgxxuutyGtyxu2、线性时变系统111112211111()()()()()nnrrxatxatxatxbtubtu112211()()()()()nnnnnnnnrrxatxatxatxbtubtu即()()tt•x=Ax+Bu14111112211111()()()()()nnrryctxctxctxdtudtu112211()()()()()mmmmnnmmrryctxctxctxdtubtu而故()()tty=Cx+Du其中：x—nx1维u—rx1维y—mx1维A—nxn系统矩阵；B—nxr输入矩阵；C—mxn输出矩阵；D—mxr前馈矩阵；()tu()tB()tA()tD()tC()tx()tx()tyD（t）为系统非固有，因而一般仅考虑：ty=C()x153、线性时不变系统：如果系数矩阵A、B、C、D与时间无关，即是定常的，则•x=Ax+Buy=Cx+Du一般可以用：(,,,)(,)orABCDAB来简单表示所讨论的系统。四、状态变量图：状态变量图表示了系统各状态变量之间的关系，为系统提供了一种物理图像。（1）求和器1x2x213xxx16（2）积分器xx（3）比例器kxkx状态变量图的具体作法如下：a、确定所研究的系统有多少个状态变量，而后在适当的位置画出相等数量的积分器，每个积分器的输出必然表示一个状态变量，且注明状态变量的符号；b、根据具体的状态方程和输出方程，画出求和器和比例器，然后用箭头把这些元件连接起来。17例：系统的状态方程和输出方程如下所示12233123632xxxxxxxxu12yxx画出系统的状态变量图。3x2x1x236yu182-2化系统的一般时域描述为状态空间描述SISO系统的时域描述可表示为：分为两种情况讨论。一、输入信号不含有导数项：()(1)110()(1)10(1)nnnnnnnyayayaybububu此时系统的运动方程为：()(1)110nnnyayayaybu故选12(2)1(1)..nnnnxyxyxyxy对左边各式求导一次，即有191223(1)1()01121..nnnnnnnxyxxyxxyxxyaxaxaxbu输出方程为：1yx改写成矩阵形式为：112201010...00.....00...0.0....0......01..0......nnnxxxxuaaxbx•x=Ax+Bu10...0yxy=Cx其中：A阵是友矩阵(Companionmatrix)。20例：设系统的运动方程是：3210ayayayayu试写出其状态空间表达式。解：选择相变量为系统的状态变量，有12132xyxyxxyx故1223012312333331xxxxaaaxxxxuaaaa即0123333010000101uaaaaaaa•xx100y=x21二、输入信号含有导数项：已知()(1)110()(1)10(1)nnnnnnnyayayaybububu引入中间变量z，令()(1)110(2)nnnuzazazaz将(2)式代入(1)，则()(1)110(2)(21)(1)()110...(...)nnnnnnnnnnnnyayayaybzabzabzabz(21)(22)(1)11101(...)nnnnnnnbzabzabz()(1)01000......(...)nnnbzabzabz()(1)()10(...)nnnnnbzbzbz()(1)(1)110(...)nnnnnnabzbzbz()(1)010......(...)nnnnabzbzbz22比较上式两边，即有()(1)10......(3)nnnnybzbzbz令系统的状态变量为：12(2)1(1)...nnnnxzxzxzxz对各式求导一次，则由（2）式，有12231()01121......nnnnnnxxxxxxxzaxaxaxu23由（3）式，即可获得输出方程为：()(1)10......(3)nnnnybzbzbz0112112101()nnnnnnnbaxaxaxubxbxbx00111211()()...()nnnnnnnbabxbabxbabxbu写成矩阵形式，有112201010...00.......00..0..0......0......01..0........1nnnxxxxuaaxx001111()()...()nnnnnnybabbabbabbux当mn时，bn=0，其状态方程不变，而输出方程为：01...00mybbbx24习题:1.3252-3化系统的频域描述为状态空间描述SISO系统的频域描述的一般形式可表示为：一、直接分解(串联分解)：11101110...()()()...mmmmnnnbsbsbsbYsGsnmUssasasa满足零初始条件。11101110...()()()...mmmmnnnbsbsbsbYsGsnmUssasasa（1）nm的情况：11101110...()()()...mmmmnnnbsbsbsbYsGsnmUssasasa26引入中间变量z，则有11101nnnsasasa1110mmmmbsbsbsb()Us()Zs()Ys1110()...()mmmmYsbsbsbsbZs1110()1()...nnnZsUssasasa故有()(1)10()...mmmmytbzbzbz()(1)10()...nnnutzazaz