现代控制理论2.2(最优控制)

现代控制理论课件——最优控制系统设计§6.1最优控制的基本概念§6.2无约束最优控制的变分方法§6.3线性调节器问题*§6.4受约束最优控制的极小值原理*§6.5最小时间系统的控制问题§6.1最优控制的基本概念在古典控制理论中，反馈控制系统的传统设计方法有很多局限性，其中最重要的缺点是:*方法不严密，大量地依靠试探法。这种设计方法对于多输入-多输出系统以及复杂系统，不能得到令人满意的设计结果。*另一方面，近年来，由于对系统控制质量的要求越来越高，和计算机在控制领域的应用越来越广泛，所以最优控制系统受到很大重视。*最优控制的目的是使系统的某种性能指标达到最佳，也就是说，利用控制作用可按照人们的愿望选择一条达到目标的最佳途径（即最优轨线），至于哪一条轨线为最优，对于不同的系统有不同的要求。而且对于同一系统，也可能有不同的要求。例如在机床加工中可要求加工成本最低为最优；在导弹飞行控制中可要求燃料消耗最少为最优；在截击问题中可选时间最短为最优等等。因此，最优是以选定的性能指标最优为依据的。*一般来讲，达到一个目标的控制方式很多，但实际上的经济、时间、环境、制造等方面有各种限制，因此可实行的控制方式是有限的。当需要实行具体控制时，有必要选择某一控制方式。考虑这些情况，引入控制的性能指标概念，使这种指标达到最优值（指标可以是极大值或极小值）就是一种选择方法。这样的问题就是最优控制。但一般来讲不是把经济、时间等方面的要求全部表示为这种性能指标，而是把其中一部分用这种指标来表示，其余部分用系统工作范围中的约束来表示。将上面的思想用数学形式表达如下：已知：控制系统的最优性能指标为附加约束为系统方程以及对应的边界条件（如给定初始条件），求控制作用u(t)，使性能指标J极小。fttdttttJ0]),(),([uX]),(),([)(ttutftXX00)(XXt*求解：对这种问题应用古典变分法，作为其扩展的极大（或极小）值原理，或者用动态规划方法来解决。性能指标J在数学上称为泛函，而在控制系统术语中称为损失函数。通常，在实际系统中，特别是在工程项目中，损失函数的确定很不容易，需要多次反复。性能指标的选择:性能指标J是一个标量，在最优控制中它代替了传统的设计指标，如最大超调量、阻尼比、幅值裕度和相位裕度。适当选择性能指标，使系统设计符合物理上的标准。////即性能指标既要能对系统作有意义的估价，又要使数学处理简单，这就是对于给定的系统很难选择一个最合适的性能指标的原因，尤其是对于复杂系统，更是这样。性能指标已有了如下几种公式化的形式:①最短时间问题：在最优控制中，一个最常遇到的问题是设计一个系统，使该系统能在最短时间内从某初始状态过渡到最终状态。此最短时间问题可表示为极小值问题。00;[(),(),]1ftftJdttttttXu②线性调节器问题：给定一个线性系统，设计目标为保持平衡状态，而且系统能够从任何初始状态恢复到平衡状态。式中Q为对称的正定矩阵。fttTdtJ021QXX或者:式中，u为控制作用，矩阵R，Q称为权矩阵，在最优化过程中，它们的组成将对X和u施加不同的影响。fttTTdtJ0][21RuuQXX③线性伺服器问题：如果要求给定的系统状态X跟踪或者尽可能地接近目标轨迹，则问题可公式化为:J为极小值。除此之外，还有最小能量问题、最小燃料问题等等。fttdTddtJ0)]()[(21XXXXQdX除特殊情况外，最优控制问题的解析解都是较复杂的，以至必须求其数值解。但必须指出，当线性系统具有二次型性能指标时，其解就可以用整齐的解析形式表示。*必须注意，控制作用u(t)不像通常在传统设计中那样被称为参考输入。当设计完成时，最优控制u(t)将具有依靠输出量或状态变量的性质，所以一个闭环系统是自然形成的。最优控制的实现问题:*如果系统不可控，则系统最优控制问题是不能实现的。*如果提出的性能指标超出给定系统所能达到的程度，则系统最优控制问题同样是不能实现的.例6.1电枢控制的他激直流电动机动态方程为:式中，为恒定负载转矩，J为转动惯量；为电枢电流；为电机的角速度；为转矩系数。aMLICMdtdJLMaI要求电动机在时间内，从静止状态起动，转过一定的角度θ后停止，即有:MCftfttfdtt0,0)(,0)0(在时间[0，]内，使电枢绕组上的损耗为最小，即最优控制问题表示为：式中为最小电枢电流；R为绕组电阻。将上述最优控制问题，写为典型形式：设状态变量（转角），（角速度），令：ft20ftaJRIdtaI)(1t)(2tMLaMCMICdtdJtu)(则状态方程为：式中：初始状态给定为：终点状态给定为：性能指标函数为最小，即：为最小。)()()(tuttBAXXJCBAtttXM0,0010,)()()(21)(,0)0(11ft0)(,0)0(22ft20[()]ftLMMJRutdtC§6.2无约束最优控制的变分方法所谓无约束，是指控制作用u(t)不受不等式的约束，可以在整个r维向量空间中任意取值.一、古典变分法无约束最优控制的提法：已知受控系统的状态方程是:在范围内有效，式中，X为n维状态向量，u为r维控制向量。这是等式约束。),,(tufXX],[0ftt给定：始点与终点的时间固定，状态自由。要求确定控制作用u(t)，使性能指标:达到极小值。由上述最优控制的提法知，约束方程为状态方程，所以现在的问题成为有约束条件的泛函极值问题，即在状态空间中，在曲面上找出极值曲线。dtttutttJfftttt00]),(),([]),([XX求解的一种方法是:先解状态方程，求出再将其代入J中求解，此种方法非常繁琐。另一种方法是:组成新的泛函J，求考虑约束的极值问题，即拉格朗日乘子法。它的具体步骤如下：12,,,①用一个向量拉格朗日乘子，将约束即系统的状态方程加到原来的性能指标J中去，得到新的性能指标为:()tλJ00[(),][(),(),]()[(),(),][]{}ftTtftttttutttftttdtJXXλXuX②定义一个标量函数称它为哈密尔顿函数。所以新的性能指标为:[(),(),(),][(),(),]()[(),(),]THttttttttftttXuλXuλXu00[(),][(),(),(),]()]{}fftttTtJttHtttttdtXXuλXλ③对的最后一项进行分部积分∵∴④求对控制向量及状态向量的一次变分，并利用内积可换位性质（为方便，以下用J代）,有：J000()()()()ffftttTTTttttXtdtttdtλλXX00[(),]()()[(),(),]()]{}{}fTtTtfttJttttHttttdtXλXXuX'JJ()()TTJJXXXX得⑤因为极小值存在的必要条件是J对的一次变分为0，所以令从而得到以下一组方程:00()()()()fTTTTtTTTtfttJJJuuJJuuXudtuXXXXHHXXX,uX0J(6.1)以上四个方程叫作——控制作用不受约束的庞德亚金方程。控制方程u伴随方程Xλ系统方程uXX贯截方程λXX0),,(00HHHtffttT⑥极小值存在的充分条件是：沿着满足的一切轨线，J的二次变分必须非负。取的台劳级数展开式的二次项为J的二次变分，有：一次变分),,(tufXX),(),(uJuuJJXXX00fTtTTtfttJHHdtXXXuXu二次变分：222222222201()212212TfttJJJJJXXuXXuXXuuX022222212ftTTtTHHuudHHuuutXXXXX如果半正定，及半正定，则为非负值，即上述两个半正定条件为J极小的充分条件。由庞德亚金方程可知，初端与终端的各种不同情况都将影响贯截方程，即贯截条件，这一点是较难掌握的。0222222uXuXuXHHHHT022XJ2二、贯截条件的分析①始点时间、状态固定及终点时间固定、状态自由时，相应的新泛函指标为：因为固定，所以有，而是完全任意的，则由前面推出的贯截方程:得到贯截条件为：0(),,,,,ftTfftJtttftXdtXuλXuX00)(XXt)(ftX0X)(0t00fttTλXX00()(),()()fffftttttXXXλX②系统的始点时间与状态都固定，终点状态固定，时间不固定：因为和都为0，即始点与终点的状态固定，没有选择的余地，所以始点与终点的状态对性能指标极小化不产生影响，于是J中便没有末值项了。即:由于可得贯截条件方程为(6.3)为待定常数乘子。dttuJftt0],,[X,0]),(fftt[Xatf)(Tnaaa21a)(0tX)(ftX§6.3线性调节器问题一、二次型性能指标的最优控制在现代控制理论中，基于二次型性能指标进行最优设计的问题已成为最优控制理论中的一个重要问题。而利用变分法建立起来的无约束最优控制原理，对于寻求二次型性能指标线性系统的最优控制是适用的。下面介绍什么是二次型性能指标的最优控制给定一个n阶线性控制对象，其状态方程是(6.4)寻求最优控制u(t)，使性能指标(6.5)达到极小值。这是二次型指标泛函，要求S、Q(t)、R(t)是对称矩阵，并且S和Q(t)应是非负定的或正定的，R(t)应是正定的。00()()()()(),()ttttttXAXBuXX01()()21[()()()()]2()()fTfftTTtJttttttdtttXXXXuuSQR对性能指标的意义加以了解与讨论是非常必要的。式(6.5）右端第一项是末值项，实际上它是对终端状态提出一个符合需要的要求，表示在给定的控制终端时刻到来时，系统的终态接近预定终态的程度.这一项对于控制大气层外导弹的拦截、飞船的会合等问题是很重要的。ft)(ftX式(6.5）右侧的积分项是一项综合指标。积分中的第一项表示对于一切的对状态的要求，用它来衡量整个控制期间系统的实际状态与给定状态之间的综合误差，类似于古典控制理论中给定参考输入与被控制量之间的误差的平方积分，这一积分项愈小，说明控制的性能愈好。积分的第二项是对控制总能量的限制，如果仅要求控制误差尽量小，则可能造成求得的控制向量u(t)过大，控制能量消耗过大，甚至在实际上难以实现。],[0fttt)(tX实际上，上述两个积分项是相互制约的：要求控制状态的误差平方积分减小，必然导致控制能量的消耗增大；反之，为了节省控制能量，就不得不降低对控制性能的要求。求两者之和的极小值，实质上是求取在某种最优意义下的折衷，这种折衷侧重哪一方面，取决于加权矩阵Q(t)及R(t)的选取。如果重视控制的准确性,则应增大加权矩阵Q(t)的各元，反之则应增大加权矩阵R(t)的各元。Q(t)中的各元体现了对X(t)中各分量的重视程度，如果Q(t)中有些元素等于零，则说明对X(t)中对应的状态分量没有任何要求，这些状态分量往往对整个系统的控制性能影响较微小，由此也能说明加权矩