现代控制理论最优控制

现代控制理论第七章最优控制1.最优控制是什么?什么是最优控制问题?1.1数学上的最优方法或提法是极值问题，极值问题是函数的极值问题.这表明,当自变量取何值时，函数或同变量达到极值。显然对照这种条件或仿照这种方法,最优控制理论的提供或问题的表达式为:当控制函数满足何种条件时,其目标函数达到极值.明显地两者之间的差异和相同处在于:相同:都要在给定目标函数条件下,求使目标函数取极值的函数式变量.相异:一个是求函数的极值时的变量取值问题,另一个是求函数极值时求控制函数的问题.由于最优控制中，目标函数依赖于控制函数u(t),因而也称目标函数为目标泛函.因此最优控制问题实际上是求使目标泛函取极值的控制规律问题.1.2最优控制的提法给定系统状态方程和目标函数(泛函)求最优控制u(t)∈U,使J（u）最大或最小,U是的一个子集,可开可闭。00,,,()xfxutxtt0()(,,)((),)ftfftJuLxutdtxttRn2.求最优控制的方法1.变分法:17世纪,无约束最优控制2.最大值原理：前苏联庞特里雅金在20世纪50年代提出.(有约束最优控制)3.动态规划：美国贝尔曼1957年提出,求解最优控制策略应用于弹道优化是控制策略.3.实现最优控制的必备条件1.具有适当精度的数学模型;2.有明确的控制约束;3.有明确的目标函数,其大小能反映出所设计的控制系统的优劣.4.典型的最优控制问题（1）最小时间问题;（2）最小能量问题;（3）最省燃料问题;（4）状态调节器问题;当系统的状态偏离平衡点时,可用状态的平方和的积分衡量误差的积累.目标函数可取为更一般的取为状态变量的加权平方和的积分:0ex0()()()ftTtJuxtxtdt0()()()ftTtJuxtQxtdt并对控制应有约束,如不,则控制会无穷大,则目标泛函为当有终点约束要求时（5）跟踪问题.0()(()())ftTTtJuxtQxtuRudt011()()()(()())22ftTTTfftJuxtFxtxtQxtuRudt5.线性二次型最优控制问题所谓二次型最优控制问题,实际上是指目标函数是状态变量和控制变量的二次型.如状态调节器问题,而线性二次型最优控制问题:则是除目标函数是状态变量和控制变量的二次型,而且它的状态方程是线性微分方程,即情况下，线性调节器或状态调节器是最常见的一类线性二次型问题.00()(),()xAtxBtuxtx最优控制的目的是:当线性系统由于某种原因偏离出原来的平衡状态,控制的目的是使系统的状态x(t)尽量接近平衡状态,而所用的量又不能太大,控制能量一般描述为控制变量的二次型.因此目标函数选为:Q和R为加权矩阵,调整Q和R的元素,就是调整状态变量接近“平衡状态”和“控制的量不能太大”这两个目标的重视程度.01()()2ftTTtJuxQxuRudt6、研究线形二次型问题的重要性1).相当多的最优控制问题是线性二次型问题2).线性二次型问题理论上比较完善，其最优控制是状态变量的反馈（或u=-kx)，所以应用比较方便，闭环品质较准。因此，最优控制也是状态反馈控制问题，即即，的目的在于使系统的状态回到的系统原平衡点位置处，当然若系统的原平衡点不为零，则应先通过坐标变换，使系统的平衡状态为零.0rurkxukx0ex0r7、线性二次型最优控制的解（或二次型最优状态调节器）方法：变分法或最大值原理，研究非时变理论给定系统状态方程，（1）确定下列最优控制向量的矩阵k,（2）使下列性能指标达到最小值（3）式中Q、R为正定实对称阵。00,()xAxBuxtx()()utkxt01()2TTJxQxuRudt求最优控制问题，实际归纳为求k，下面求解过程1.将（2）代入（1）可得：（4）在下面的推导过程中，假设矩阵A-Bk是稳定矩阵，即A-Bk的特征值都具有负实部。()xAxBkxABkx2.将（2）代入（3）可得：令式中P为正定实对称阵于是得到将式（4）的结果代入后得：0011()()22TTTTTJxQxxkRkxdtxQkRkxdt()(..)TTTdxQkRkxxPxdt()TTTTxQkRkxxPxxPx()TTTTxQkRkxxABkPPABkx如果要对于所存x均成立，则（5）显然对式（5）来说，若A-Bk为稳定矩阵，则必存在一个正定矩阵P，并满足式（5）.3.有了式（5）以后，问题转化为求P，并检验P是否正定阵。()()()TTQkRkABkPPABk4.性能指标可计算如下:由于A-Bk是稳定矩阵，因此，故而显然性能指标可由初始条件和P算得。0011()22TTTJxQkRkxdtxPx1(00)2TTxPxxPx0x1002TJxPx5.以下求k由于R为正定实对称阵，故，其中T为非奇异矩阵，于是方程式（5）可以写成（6）由于目标泛函可归结为或需满足式（5）或式（6）的要求，同时泛函J对k极小值的问题可归结为方程式（5）或式（6）对k取极小值的问题。TRTT0TTTTTAkBPPABkQkTTk也就是说，当k取何值时，式（5）或式（6）为极小，这样可将式（6）改写为:或（7）111.0TTTTTTTAPPATKTBPTKTBPPBRBPQ111.0TTTTTTTAPPAPBRBPQTKTBPTKTBP在式（7）中，第一项与K无关，因此若第二项取极小，则能得证该式为最小，考虑到第二项为二次型的形式，即它们是每个元素的平方和，其结果非负，因此若使二次型取得最小值，则使得构成向量的元素为零即可，即：或（8）时才出现极小值。10TTTKTBP111TTTKTTBPRBP因此，当二次型最优控制问题的性能指标如前所描述的那样。其最优控制为其中P应满足（9）式（9）称为退化的矩阵黎卡提方程。TTukxRBPx10TTAPPAPBRBPQ8.线性二次型最优控制的设计步骤1）.解黎卡提方程,求出矩阵P,并检验P的正定性,如P正定,则A–BK是稳定的;2）.将解出的P,代入中,得到最优控制1K=TRBPQKx例2.考虑如图所表示的系统.假如控制信号为()()utKxt试确定最优反馈增益K,使得下列性能指标达到最小式中201()()2TJuxQxudt100Q(0),1R解.1.)先写出对象的状态方程12010,,001TxAxBuABxxx2.)求P,由于,故则假设22AR22PR11122122ppPpp有黎卡提方程可得10TTAPPAPBRBPQ11112111211121112212221222122212200010100001100010001pppppppppppppppp上述方程,计算后得到先设P为实对称矩阵,则1221111222211222112212210000ppppppppppp1221pp故可得到下列方程a,b,C,d,21210p1112220ppp2122220pp1121220ppp其中b和c是等价的,故得到三个方程2121112222122210020pppppp解出,显然P是正定矩阵,所有元素大于零2112p故而最优增益为即11112121222122011TppKRBPpppp12K最优控制为特征方程当时,故A-BK是稳定的!1122122ukxxxxx2det()210sIABKss1,20.866jS1