清华大学贾仲孝老师(贾哥)高等数值分析证明题汇总

 1 / 6    清华大学贾仲孝老师（贾哥）高等数值分析证明题汇总  前言：高值是我上学这么多年感觉学起来最费劲的一门课，没有之一。想起自己在文图奋斗了那么多个日日夜夜，每天听三遍提醒才会离开的情景，以及在四教答疑到没空吃饭的悲催，就觉得辛辛苦苦学到的这些东西就仅仅应付一个考试太可惜了，有点对不住自己这么长时间的辛苦，一直想着要把觉得有用的东西总结一下，广而告之，就当攒人品了。因为到现在高值成绩也没有出来，我也不知道自己考了多少分，所以对这份总结的正确性不能保证，仅供手里没有其他资料的时候稍稍参考。有了这份资料，康师姐再给我们答疑的时候是不是可以轻松点（给答疑的师兄和师姐点个赞）。二中哥2015年2月2日焊管1041．若A可对角化，A有k个特征值时，证明GMERES和MINRES至多k步收敛；证：对于GMERESk00x()kxqAr00,,xkspanrArk证毕！对于MINRES，()=1，同理可证。 2. 若A可对角化，A有n个不同的特征值，r0是由k个不同特征值的特征向量构成。证明GMERES和MINRES至多k步收敛。kkkk00kk0,(0)1-1-1-1k00,(0)1,(0)1k0,(0)111()(())p()rmin()=p()rmin()()rmin()r()rminmax()p()kkpPppPppPpipPpinkrkbAxrAqAIAqArIAqApArApprppt取(A)=则又因为可对角化，A则(A)=则即可取11kk()(1)()max()=0r0r=0jjkkjjkiintp则，即 2 / 6  证：对于GMERESk00x()kxqAr00,,xkspanrArk0123k-11y,y,,,niikirxXT取其中=(,0,00,0)证毕！对于MINRES，同理可证。  3.证Arnoldi过程中断时不会发生方法中断。111mmm=0()=TmmmmmmmmmmmmmmmmmmAVVHhvehAVVHAVVHVHVAVVAAH当过程中断时，即设（，）为H的任一特征对则即即H的特征值均为的特征值，非奇异，则非奇异，则不会发生方法中断，证毕。4.证Arnoldi方法中断则Arnoldi过程一定不中断。证：该命题与3是等价的逆否命题，先证明3，然后根据逆否命题的等价性即可得到4.5.证Arnoldi过程中断找打了准确解。1=0mh当过程中断时， kk00kk0,(0)1-1-1-1k0,(0)1()(())p()rmin()=p()rmin()kkpPppPprkbAxrAqAIAqArIAqApArAppr取(A)=则又因为可对角化，A则(A)=则kkkkk-11k0,(0)1,(0)1,(0)1k,(0)1k,(0)11111kkrmin()=min()min()rmin()rminmax()()p()(1)()max()=0r0r=0pPppPppPppPpipPpikjjkkkjjkiinprXpXXyXpyXpyXypttp则即可取则，即 3 / 6  再推导出讲义P52，定理3.3.3，从而可得出结论kr=0，即找到了准确解。 6.证当A为对称正定矩阵时，证明Lanczos方法不会发生中断。证明：m1mm01.1.20acosTTmmmmmTmmTTmmAAAQQTqeQAQTAAQAQTLnz，由讲义定理可知，当时，正定，即正定，非奇异则方法不会发生中断。7.当A=I-BBT时，rank(B)=p,用CG法求解Ax=b,最多几步收敛？证明，21222p1,00,0,0,0,0,00,0,0,0,0,00,0,0,0,00,0,0,0,0,0,0,0,00,0,0,0,0,0,0,0,00,0,0,0,0,0,0,0,0TBBXX，，，0,，则2122211,00,0,0,0,0,0,0,0,0,0,00,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,00,0,0,0,0,0,0,1,00,0,0,0,0,0,0,0,1pTIBBXX，，1-，0,1- 即其含有最多p+1个不同的特征值，则当p+1n时，最多P+1步收敛，否则n步收敛。  8.证明Anorldi过程中断时GMERES找到了准确解。证明：讲义P64页定理3.4.39．为什么在绝对精确的计算下，CG,lanczos,MINRES,Arnoldi,GMRES方法至多n步一定找到准确解。证明，对于CG,MINRES,GMRES来说，其残差项具有最优性，即mr收敛，当m=n时，其空间K（r0,A,m）=Rm,则一定找打了准确解。 对于lanczos来说，当m=n时，nn1.1.20nnTnnTTnnnAQQTQAQTAAQAQT由讲义定理可知，当时，正定，即正定  4 / 6  则111n01101111n00n01000001110100rrr0=q,r=rnnnnnnnnnnnnnnTQAQeTyyTeXXQyXQQAQeXArrbAXrrrQeqQer又因为：又因为备注： 证毕 对Arnoldi，同理可证。  10.叙述Rayleigh-Ritz和精叙述Rayleigh-Ritz方法的主要收敛结论（贾氏定理）。解，见讲义P93，定理4.6.1，以及P95页，定理4.7.1.11．描述Arnoldi方法和精化的Arnoldi方法。解，见讲义P94，以及P96页。12．若sin∠（X1，vk）=ek,求21()()kpkoe证vk=1122XXC,又221211kvCcos∠（X1，vk）=1111(,)(,)kkkXvXvXv则sin∠（X1，vk）=ek=2211C~1112211122~22112221~2211222222122222(,)1(1)()=o()TTTTkXXCXAXCCXAXCCXAXCCXCoCe（）证毕13.11201001()()(,)kBvkXXwvvAv，，证Raylei商收敛于主特征值证 5 / 6  22112010111001~112011120111~~211112020202011111211~112201(),1()1(,)((),())()(())(())()(1)()+kkkkkkTkkTkTkkTTTBBvXXwvwvAvBBXXwXAXwBBBBXAXwXwXwAXwBXAXXw……（~2120201121()()[()]TkkBXwAwXo）+ 14. 当1120niiivXX时，求证2211()ko 证 0111211101112221111122122122122111223122222211223222112(,)(,)()1nkkkkiiiinkkkkiiiinkiikkinkkkiiinkkkiiinkkkiiivAvXXAvAvXXvAvvv221222212222222222122211()1()()11=()kkkkko………… 证毕  15． 叙述幂法 解，见讲义P80。 6 / 6  结语：最后三道题为四个月后补录，准确性已经无法保证，仅供参考，祝君顺利。