清华大学贾仲孝老师高等数值分析第二次实验

高等数值分析第二次实验作业高等数值分析第二次实验作业高等数值分析第二次实验作业T1.构造例子特征值全部在右半平面时,观察基本的Arnoldi方法和GMRES方法的数值性态,和相应重新启动算法的收敛性.Answer:（1）构造特征值均在右半平面的矩阵A：根据实Schur分解，构造对角矩阵D由n个块形成，每个对角块具有如下形式，对应一对特征值iiiiiiiiS这样D=diag(S1,S2,S3……Sn)矩阵的特征值均分布在右半平面。生成矩阵A=UTAU，其中U为正交阵，则A矩阵的特征值也均在右半平面。不妨构造A如下所示：2211112222/2/2/2/2NNAnnnn由于选择初值与右端项：x0=zeros(2*N,1);b=ones(2*N,1);则生成矩阵A的过程代码如下所示：N=500%生成A为2N阶A=zeros(2*N);fora=1:NA(2*a-1,2*a-1)=a;A(2*a-1,2*a)=-a;A(2*a,2*a-1)=a;A(2*a,2*a)=a;endU=orth(rand(2*N,2*N));A1=U'*A*U;（2）观察基本的Arnoldi和GMRES方法编写基本的Arnoldi函数与基本GMRES函数，具体代码见附录。function[x,rm,flag]=Arnoldi(A,b,x0,tol,m)function[x,rm,flag]=GMRES(A,b,x0,tol,m)输入:A为方程组系数矩阵，b为右端项，x0为初值，tol为停机准则，m为人为限制的最大步数。输出:x为方程的解，rm为残差向量，flag为解是否收敛的标志。外程序如下所示：e=1e-6;m=700;高等数值分析第二次实验作业tic[xA,rmA,flagA]=Arnoldi(A1,b,x0,e,m);toctic[xG,rmG,flagG]=GMRES(A1,b,x0,e,m);tocsubplot(1,2,1);semilogy(rmA)title('ArnoldiÊÕÁ²ÇúÏß')xlabel('µü´ú²½Êýk')ylabel('log(||rk||)')subplot(1,2,2);semilogy(rmG)title('GMRESÊÕÁ²ÇúÏß')xlabel('µü´ú²½Êýk')ylabel('log(||rk||)')得到：得到两种方法的收敛曲线如上所示，将计算结果整理在下表中：方法ArnoldiGMRES‖𝑟𝑚‖2.95e-053.07e-05迭代次数546526运行时间（s）1.56471592.828966结果讨论：高等数值分析第二次实验作业1.从图中可以看出，基本的Arnoldi方法经过546步收敛，基本的GMRES方法经过526步收敛，基本的GMRES收敛速度会略快于基本的Arnoldi方法。2.从图中可以看出，GMRES方法的的性态较Arnoldi方法更好。Arnoldi方法会有平台和不光滑段，但是由于GMRES具有的残差最优性，GMRES方法平稳地收敛，收敛曲线也更光滑。（3）观察重新启动的Arnoldi和GMRES方法在上述两个函数的基础上，编写了重新启动的Arnoldi函数（详情见附录）：function[x,rm,flag,Maxi]=ArnoldiM(A,b,x0,tol,m,Maxm)输入：m为给定步数,Maxm为人为限制的最大重启次数。输出：x为方程的解，rm为残差向量，flag为解是否收敛的标志，Maxi为重启次数。首先编写程序，计算重启次数Maxi与给定步数m的关系，为选取给定步数m给出依据：num_restartA=[];num_restartG=[];form=10:10:150tic[xG,rmG,flagG,MaxiG]=GMRESM(A,b,x0,tol,m,Maxm);[xA,rmA,flagA,MaxiA]=ArnoldiM(A,b,x0,tol,m,Maxm);num_restartA=[num_restartAMaxiA];num_restartG=[num_restartGMaxiG];tocendm1=10:10:150;plot(m1,num_restartA,'o-',m1,num_restartG,'*-')从上述结果中看到在m=50之后，重启次数随着给定步长的增加减少很慢，进入饱和。故可以取m=50，最大步数可知在50步以内，运算程序如下所示：m=50;Maxm=50;tic[xA,rmA,flagA,MaxiA]=ArnoldiM(A,b,x0,tol,m,Maxm);高等数值分析第二次实验作业toctic[xG,rmG,flagG,MaxiG]=GMRESM(A,b,x0,tol,m,Maxm);tocm1=1:MaxiA;m2=1:MaxiG;plot(m1,log10(rmA),'o-',m2,log10(rmG),'*-')title('Á½ÖÖÖØÆôËã·¨µÄÊÕÁ²ÇúÏß')xlabel('ÖØÆô´ÎÊýk')ylabel('log(||rk||)')得到的收敛曲线结果如下图所示：得到两种方法的收敛曲线如上所示，将计算结果整理在下表中：方法ArnoldiMGMRESM‖𝑟𝑚‖2.07e-052.29e-05重启次数2622总迭代次数13001100运行时间（s）0.8445770.803231结果讨论：1.重启次数随着m的增大而减小，当m增大到一定程度如50之后，减小很缓慢，当m非常大的时候，就过度到了基本算法。重启的算法如何选择合适的m的因问题而不同。2.重启算法的总迭代次数（重启次数×m）要多于基本的算法。这是由于在重启动时，从另一个我们认为更好的初值点（其实不一定好）x0重新开始计算，可能会丢掉一些之前算过的信息。3.重启算法与基本算法相比，虽然总迭代次数增加了，但是运算速度却能大大提高，运行时间远远小于基本算法（尤其是重启GMRES算法）。4.一般情况，对于同一个题目，重启的GMRES方法收敛速度要比Arnoldi方法快；5.总的来说，对题中的矩阵A，四种方法均能稳定地收敛。T2.对于1中的矩阵,将特征值进行平移,使得实部有正有负,和1的结果进行比较,高等数值分析第二次实验作业方法的收敛速度会如何?基本的Arnoldi算法有无峰点?若有,基本的GMRES算法相应地会怎样?Answer:对A的特征值进行平移，如对S矩阵的实部统一减去一个数s，则小单元矩阵S对应的一对特征值变为()iisi，当矩阵A构造同上题，那么控制s的大小，即控制了实部为负的特征值的个数。iiiiisSs这里将上面的矩阵生成做如下改造：clearall;N=500tol=1e-6;m=50;Maxm=50;A=zeros(2*N);s=1.5fora=1:NA(2*a-1,2*a-1)=a-s;A(2*a-1,2*a)=-a;A(2*a,2*a-1)=a;A(2*a,2*a)=a-s;endU=orth(rand(2*N,2*N));A1=U'*A*U;改变s的值，进而改变实部为负的特征值个数，计算结果整理如下表所示：高等数值分析第二次实验作业实部为负的特征值个数0151001502005001000迭代次数Arnoldi方法5466387307884622774616GMRES方法5266267197574272574516结果讨论：1.当开始有负半平面的特征值时，个数比较少时（如小于100时），随着个数的增加，基本的Arnoldi和基本的GMRES迭代次数明显变多，收敛速度明显变慢；当负半平面特征值个数继续增加（如大于100时），两者的迭代次数减少，收敛速度明显变快，并且将比第一题的收敛速度快很多，迭代次数少很多。2.当开始有负半平面的特征值时，个数比较少时（如小于100时），随着个数的增加，Arnoldi出现峰点，峰点个数与其特征值的分布有关系，但整体仍收敛。这是由于负特征值的存在，使得海森贝格矩阵H发生近似奇异而发生近似中断而引起的。然而，GMRES的残0100200300400500600700800迭代次数k-5-4-3-2-10123log(||rk||)收敛曲线(特征值位于左半平面的对数为100)ArnoldiGMRES高等数值分析第二次实验作业差始终平稳下降，当Aronldi出现尖峰时，GMRES的残差不变具有最优性。T3.对1中的例子固定特征值的实部,变化虚部,比较收敛性。Answer:首先对T1的代码进行简单修改，实部不变，虚部进行一定的放大（引入系数k）。每个对角块具有如下形式，对应一对特征向量'iii''iiiiS上式中的'iik相应代码如下所示（以Arnoldi为例），取k=0.2,0.5,1,2,5这五种情况。N=500A1=zeros(2*N);k1=0.2;fora=1:NA1(2*a-1,2*a-1)=a;A1(2*a-1,2*a)=-k1*a;A1(2*a,2*a-1)=k1*a;A1(2*a,2*a)=a;endU=orth(rand(2*N,2*N));A1=U'*A1*U;%篇幅所限，此处省去了A2~A5，同理可得。k5=5;fora=1:NA5(2*a-1,2*a-1)=a;A5(2*a-1,2*a)=-k5*a;A5(2*a,2*a-1)=k5*a;A5(2*a,2*a)=a;endU=orth(rand(2*N,2*N));A5=U'*A5*U;x0=zeros(2*N,1);b=ones(2*N,1);e=1e-6;m=1000;[xA1,rmA1,flagA1]=Arnoldi(A1,b,x0,e,m);[xA2,rmA2,flagA2]=Arnoldi(A2,b,x0,e,m);[xA3,rmA3,flagA3]=Arnoldi(A3,b,x0,e,m);[xA4,rmA4,flagA4]=Arnoldi(A4,b,x0,e,m);高等数值分析第二次实验作业[xA5,rmA5,flagA5]=Arnoldi(A5,b,x0,e,m);m1=1:size(rmA1,2);m2=1:size(rmA2,2);m3=1:size(rmA3,2);m4=1:size(rmA4,2);m5=1:size(rmA5,2);plot(m1,log10(rmA1),m2,log10(rmA2),m3,log10(rmA3),m4,log10(rmA4),m5,log10(rmA5))title('»ù±¾Arnoldi·½·¨ÊÕÁ²ÇúÏß')xlabel('µü´ú´ÎÊýk')ylabel('log(||rk||)')hg1=legend('k=0.2','k=0.5','k=1','k=2','k=5');计算结果如下所示：高等数值分析第二次实验作业结果讨论：1.随着比例因子k的增大，虚部被放大，Arnoldi方法和GMRES方法的收敛速度均减慢，迭代次数增加；2.同时，随着比例因子k的增大，Arnoldi过程跳动越来越严重，峰点个数增加，发生近似中断的次数增加；而GMRES方法的残差始终保持单调平稳下降。3.GMRES方法的迭代次数略小于Arnoldi方法的迭代次数，但GMRES的计算时间却远大于Arnoldi方法的计算时间。T4.当A只有m个不同特征值时,对于大的m和小的m,观察Arnoldi方法和GMRES方法的收敛性.Answer:A的生成参考第一次上机作业的第三题的代码，分别构建m=10、50、100、400、800五个矩阵A，代码如下所示：N=1000x0=zeros(N,1);b=ones(N,1);e=1e-6;m1=10;DIA1=linspace(1,10,m1);DIA1=[DIA1ones(1,N-m1)];D1=diag(DIA1);U=orth(rand(N,N));A1=U'*D1*U;%篇幅所限，