(人教版)数学必修五：1.1《正弦定理和余弦定理(2)》ppt课件

1.1正弦定理和余弦定理第一章第2课时余弦定理1.判断(正确：T，错误：F)．(1)已知两个三角形两边及其夹角对应相等，则两个三角形全等．(2)已知两个三角形三边分别对应相等，则两个三角形全等．2．在△ABC中，正弦定理的表达式是________．1.余弦定理在三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．在△ABC中，AB＝4，BC＝3，B＝60°，则AC等于________．[答案]13[解析]由条件已知三角形的两边及其夹角，故可以直接利用余弦定理求得边AC，即AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝16＋9－2×4×3×12＝13.∴AC＝13.2．余弦定理的推论根据余弦定理，可以得到以下推论：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.边长为5、7、8的三角形中，最大角与最小角的和是________．[答案]120°[解析]设中间角为θ，由于875，故θ的对边长为7，由余弦定理，得cosθ＝52＋82－722×5×8＝12.所以θ＝60°，故另外两角和为180°－60°＝120°.3．余弦定理与勾股定理的关系在△ABC中，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90°，则cosC＝0，于是c2＝a2＋b2－2a·b·0＝a2＋b2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．规律：设c是△ABC中最大的边(或C是△ABC中最大的角)，则a2＋b2c2⇔△ABC是钝角三角形，且角C为钝角；a2＋b2＝c2⇔△ABC是直角三角形，且角C为直角；a2＋b2c2⇔△ABC是锐角三角形，且角C为锐角．在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝3:5:7，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定[答案]C[解析]由正弦定理，得a:b:c＝sinA:sinB:sinC＝3:5:7.设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k0)，由于cba，故角C是△ABC中最大的角，因为cosC＝b2＋a2－c22ab＝5k2＋3k2－7k22×5k×3k＝－120，所以C90°，即△ABC为钝角三角形已知两边和夹角解三角形在△ABC中，已知a＝3，b＝2，B＝45°，解三角形．[分析]已知两边及其中一边的对角，先由余弦定理列方程求c，然后由余弦定理的推论求A，C．[方法总结]已知两边及一角解三角形的方法：(1)当已知两边及它们的夹角时，用余弦定理求解出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求解另外两角，只有一解；(2)当已知两边及其一边的对角时，可用正弦定理求解，也可用余弦定理求解，但都要注意解的情况的讨论．利用余弦定理求解相对简便．已知△ABC中，a＝1，b＝1，C＝120°，则边c＝________.[答案]3[解析]由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋1－2×1×1×(－12)＝3，∴c＝3.已知三边解三角形在△ABC中，已知a＝26，b＝6＋23，c＝43，求角A，B，C．[方法总结]用正弦定理求角时，要注意根据大边对大角的原理，确定角的大小，以防增解或漏解．在△ABC中：a＝3，b＝4，c＝37，求最大角．[分析]利用余弦定理的推论求角．[解析]∵3743，边c最大，则角C最大，又cosC＝a2＋b2－c22ab＝32＋42－372×3×4＝－12.∴最大角C＝120°.判断三角形的形状在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断△ABC的形状．[分析]思路一，利用正弦定理将已知等式化为角的关系；思路二，利用余弦定理将已知等式化为边的关系．[方法总结]已知三角形的边或角的关系式解三角形或判断三角形的形状，可先观察条件式的特点，再依据此特点选取变形方法，当等式两端各项都含有边时常用正弦定理变形，当等式两边含有角的正弦的同次幂时，常用正弦定理变形，当含有边的积式及边的平方和与差的形式时，常考虑用余弦定理变形等等．在△ABC中，已知abc＝132，试判断三角形的形状．[解析]在△ABC中，设a＝x(x0)，则b＝3x，c＝2x.显然c最大，故角C最大．根据余弦定理，cosC＝a2＋b2－c22ab＝x2＋3x2－2x22·x·3x＝x2＋3x2－4x223x2＝0.∴C＝π2，即△ABC是直角三角形.正弦、余弦定理的综合应用(2013·广东东莞第五中学高二期中测试)在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．[分析]欲求BC，在△BCD中，已知∠BCD，∠BDC可求，故须再知一条边；而已知∠BDA和AB、AD，故可在△ABD中，用正弦定理或余弦定理求得BD．这样在△BCD中，由正弦定理可求BC．如图，在△ABC中，已知BC＝15，ABAC＝78，sinB＝437，求BC边上的高AD的长．[解析]在△ABC中，由已知设AB＝7x，AC＝8x，由正弦定理，得7xsinC＝8xsinB，∴sinC＝7xsinB8x＝78×437＝32，∴C＝60°(C＝120°舍去，否则由8x7x，知B也为钝角，不符合要求)．由余弦定理，得(7x)2＝(8x)2＋152－16x×15cos60°，∴x2－8x＋15＝0，∴x＝3，或x＝5，∴AB＝21，或AB＝35.在△ABD中，AD＝ABsinB＝437AB，∴AD＝123，或AD＝203.设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围．[错解]∵2a＋1，a,2a－1为三角形的三边，∴2a＋10，a0，2a－10，解得a12.2a＋1是三边长的最大值，设其对角为θ.∵2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，∴cosθ0，即a2＋2a－12－2a＋122a2a－1＝aa－82a2a－10，解得12a8，∴a的取值范围是12a8.[错因分析]错解中求得的a12不是2a＋1，a,2a－1能构成三角形的充要条件．如当a＝1时，a＋(2a－1)2a＋1，此时2a＋1，a,2a－1就不能作为三角形的三边，本题实质上是求2a＋1，a,2a－1能构成钝角三角形的充要条件，除了要保证三边长均为正数外，还应满足“两边之和大于第三边”．[正解]∵2a＋1，a,2a－1为三角形的三边，∴2a＋10，a0，2a－10，解得a12，此时2a＋1最大．∵2a＋1，a,2a－1表示三角形的三边，还需a＋(2a－1)2a＋1，解得a2.设最长边所对角为θ，则cosθ＝a2＋2a－12－2a＋122a2a－1＝aa－82a2a－10，解得12a8.∴a的取值范围是2a8.余弦定理定理的内容定理及推导定理的几个变式定理的作用解三角形类型两边和夹角三边三角形形状的判断常见类型判断方法