九年级数学_二次函数几种解析式的求法

-1-二次函数的解析式求法求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。一、三点型例1已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函数的解析式是_______。分析已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax2+bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5。故所求函数解析式为y=2x2-3x+5.这种方法是将坐标代入y=ax2+bx+c后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数a,b,c,进而获得解析式y=ax2+bx+c.二、交点型例2已知抛物线y=-2x2+8x-9的顶点为A，若二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A点，且与x轴交于B（0，0）、C（3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。分析要求的二次函数的图象与x轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x2+8x-9的顶点A（2，-1）。将A点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21∴y=21x(x-3),即y=xx23212.三、顶点型例3已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。分析此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)2+k.在本题中可设y=a(x+1)2+4.再将点(1,2)代入求得a=-21-2-∴y=-,4)1(212x即y=-.27212xx由于题中只有一个待定的系数a，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。四、平移型例4二次函数y=x2+bx+c的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函数,122xxy则b与c分别等于(A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18.分析逆用平移分式，将函数y=x2-2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。∴y=x3)3(22xcbx=x.662x∴b=-6,c=6.因此选（B）五、弦比型例5已知二次函y=ax2+bx+c为x=2时有最大值2，其图象在X轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。分析弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d=a就本题而言，可由对称性求得两交点坐标为A（1，0），B（3，0）。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x2+8x-6.六、识图型例6如图1，抛物线y=cxbx)2(212与y=dxbx)2(212其中一条的顶点为P，-3-另一条与X轴交于M、N两点。（1）试判定哪条抛物线与X轴交于M、N点？（2）求两条抛物线的解析式。解（1）抛物线y=cxbx)2(212与x轴交于M，N两点（过程从略）；（2）因y=dxbx)2(212的顶点坐标为（0，1），∴b-2=0,d=1,∴b=2.∴Y=1212x.将点N的坐标与b=2分别代入y=221x+(b+2)x+c得c=6.∴y=221x+4x+6七、面积型例7已知抛物线y=xcbx2的对称轴在y轴的右侧，且抛物线与y轴交于Q（0，-3），与x轴的交点为A、B，顶点为P，ΔPAB的面积为8。求其解析式。解将（0，-3）代入y=cbxx2得c=-3.由弦长公式，得122bAB-4-点P的纵坐标为4122b由面积公式，得.8412122122bb解得.2b因对称轴在y轴的右侧,∴b=-2.所以解析式为y=322xx八、几何型例8已知二次函数y=2x-mx+2m-4如果抛物线与x轴相交的两个交点以及抛物线的顶点组成一个等边三角形，求其解析式。解由弦比公式，得AB=4)42(42mmm顶点C的纵坐标为-4)4(2m∵ΔABC为等边三角形∴43214)4(2mm解得m=4,32故所求解析式为y=,344)324(2xx或y=344)324(2xx九、三角型例9已知抛物线y=cbxx2的图象经过三点（0，2512）、（sinA，0）、（sinB，0）且A、B为直角三角形的两个锐角，求其解析式。解∵A+B=900，∴sinB=cosA.-5-则由根与系数的关系，可得cAAbAAcossincossin将（0，2512）代入解析式，得c=.2512（1）2)2(2,得,125242b∴57b∵-b,0∴b=-57所以解析式为y=2512572xx十、综合型例10如图2，已知抛物线y=-qpxx2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点，若∠ACB=900，且tg∠CAO-tg∠CBO=2，求其解析式．解设A，B两点的横坐标分别为x21,x,则q=(-x.)21OBOAx由ΔAOC～ΔCOB，可得OC2=OA·OB，∴q2=q解得q1=1,q2=0（舍去），又由tg∠CAO-tg∠CBO=2得2OBOCOAOC-6-即21121XX∴x1+x2=-2x1x2即p=2p=2所以解析式为y=-x2+2x+1-7-待定系数法求二次函数的解析式—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.对于任何的实数t，抛物线y=x2+(2-t)x+t总经过一个固定的点，这个点是()A.(l,3)B.（-l,0)C.（-1,3)D.(1,0)2．如图所示为抛物线2yaxbxc的图象，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA＝OC＝1，则下列关系中正确的是（）A．1abB．1abC．2baD．0ac3．在平面直角坐标系中，先将抛物线22yxx关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么两次变换后所得的新抛物线的解析式为()A．22yxxB．22yxxC．22yxxD．22yxx4．老师出示了小黑板上题后．小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)；小明说：a＝1，小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2，你认为四个人的说法中，正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个5．将抛物线221216yxx绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是()A．221216yxxB．221216yxxC．221219yxxD．221220yxx6．如图所示，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为x，则S关于x的函数图象大致是()已知抛物线23yaxbx与x轴交于(1，0)，试添加一个条件，使它的对称轴为直线x＝2．-8-二、填空题7．已知二次函数的图象经过原点及点11,24，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为________．8．已知二次函数对称轴为x＝2，且在x轴上截得的线段长为6，与y轴交点为(0，-2)，则此二次函数的解析式为．9．抛物线2yaxbxc上部分点的横坐标为x，纵坐标y的对应值如下表：x…-2-1012…y…04664…从上表可知，下列说法中正确的是________．（填写序号）①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）；②函数2yaxbxc的最大值为6；③抛物线的对称轴是12x；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．10．某同学利用描点法画二次函数，2yaxbxc(a≠0)的图象时，列出的部分数据如下表：x01234y30-203经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你根据上述信息写出二次函数的解析式：________．11．如图所示，已知二次函数2yxbxc的图象经过点(-1，0)，(1，-2)，该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为________．第11题第12题-9-12．在如图所示的直角坐标系中，已知点A（1，0），B（0，-2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC．（1）点C的坐标为；（2）若抛物线2122yxax经过点C，则抛物线的解析式为．三、解答题13．已知2yaxbxc(a≠0)经过A(-3，2)，B(1，2)两点，且抛物线顶点P到AB的距离为2，求此抛物线的解析式．14．有一个二次函数的图象．三位同学分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x＝4；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3，请写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式．15．已知，如图所示，抛物线2yaxbxc与x轴相交于两点A(1，0)，B(3，0)，与y轴相交于点C(0，3)．(1)求抛物线的函数关系式；(2)若点7,2Dm是抛物线2yaxbxc上的一点，请求出m的值，并求出此时△ABD的面积．-10-【答案与解析】一、选择题1.【答案】A；【解析】把y=x2+(2-t)x+t化为y=x2+2x+(1-x)t,因为对于任何的实数t，抛物线y=x2+(2-t)x+t总经过一个固定的点，所以与t的值无关，即1-x=0，x=1,代入y=x2+2x+(1-x)t,得y=3,过定点（1,3），故选A.2.【答案】B；【解析】由图知A(-1，0)，C(0，1)代入2yaxbxc中得0,1,abcc∴a-b＝-1．3.【答案】C；【解析】先将抛物线22yxx关于x轴作轴对称变换，可得新抛物线为22yxx，再将抛物线为2()()2yxx，整理得22yxx．4.【答案】D；【解析】由题意知22ba，4ba．又30ab，所以1a，4b，即解析式为243yxx，再一一验证．5.【答案】D；【解析】此题容易误选A、B，简单地认为改变。的符号，抛物线开口向下，或改变函数值的正负即可．将抛物线221216yxx绕它的顶点旋转180°，所得的抛物线顶点坐标、对称轴不变，只是开口方向向下．因此，由221216yxx化为22(3)2yx，因而所求抛物线解析式22(3)2yx．即221220yxx．6.【答案】B；【解析】∵AB＝BC＝CD＝DA＝1，AE＝BF＝CG＝DH＝x，∴AH＝DG＝CF＝BE＝1-x．∴1(1)2AEHBEFCFGDHGSSSSxx△△△△，∴2114(1)2212Sxxxx，又0≤x≤1，其图象应为开口向上，自变量从0到1之间的抛物线部分，故选B．二、填空题-11-7．【答案】2yxx或21133yxx；【解析】抛物线经过点(1，0)或(-1，0)．8．【答案】228255yxx；【解析】由对称轴x＝2和抛物线在x轴上截得的线段长为6，可知抛物线与x轴的两个交点为(-1，0)，(5，0)，然后设交点式易求解．∵抛物线的对称轴为x＝2，且在x轴上截得线段长为6，∴抛物线与x轴两交点为(-1，0)，(5，0)．设二次函数解析式为y＝a(x+1)(x-5)(a≠0)．将点(0，2)代入上式得-2＝a(0+1)(0-5)，∴25a．因此二次函数解析式为2(1)(5)5yxx．即228255yxx．9．【答案】①③④；【解析】由纵坐标相等的点关于对称轴对称可得对称轴为12x，由表可知在12x时y随x的增大而增大，与x轴的一个交点为(-2，0)，则另一个交点为(3，0)．当12x时，y值最大，故②错.10．【答案】243yxx；【解析】先描点，根据二次函数的图象找出错误的一组数据，再利用表内的数据的特点，选用12()()yaxxxx求解析式较简便．由描点知，表内2x，2y是错误的．设12()()yaxxxx(a≠0)，由表知(1)(3)yaxx，又点(0，3)在抛物线上，所以3＝a(0-1)(0-3)，所以1a．因此(1)(3)yxx，即243yxx．11．【答案】3；【解析】由2y