余弦定理公式

1．三角形基本公式：（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,cos2C=sin2BA,sin2C=cos2BA（2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=21casinBS=pr=))()((cpbpapp(其中p=2cba,r为内切圆半径)（3）射影定理：a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=acosB+bcosA2．正弦定理：2sinsinsinabcRABC外证明：由三角形面积111sinsinsin222SabCbcAacB得sinsinsinabcABC画出三角形的外接圆及直径易得：2sinsinsinabcRABC3．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,222cos2bcaAbc；证明：如图ΔABC中，sin,cos,cosCHbAAHbABHcbA22222222sin(cos)2cosaCHBHbAcbAbcbcA当A、B是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题．4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：bsinAab时有两解；a=bsinA或a=b时有解；absinA时无解。5．利用余弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。6．熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力历年考题如图，在ABC中，2AC，1BC，43cosC．（1）求AB的值；（2）求CA2sin的值.解（1）：由余弦定理，cbaHCBA2222..cosABACBCACBCC3412212.4∴2.AB（2）解：由3cos4C，且0,C得27sin1cos.4CC由正弦定理:,sinsinABBCCA解得sin14sin8BCCAAB。所以，52cos8A。由倍角公式57sin2sin2cos16AAA，且29cos212sin16AA，故37sin2sin2coscos2sin8ACACAC.解题方法：已知两边夹角,用余弦定理,由三角函数值求三角函数值时要注意“三角形内角”的限制.在ΔABC中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C及边c．解：由正弦定理得：sinA=23245sin3sinbBa,因为B=45°90°且ba,所以有两解A=60°或A=120°(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°，c=22645sin75sin2sinsinBCb,(2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15°，c=22645sin15sin2sinsinBCb解题方法：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理求解，必需注意解的情况的讨论．如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？[解]连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10COS120°=700新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆于是,BC=107新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆∵710120sin20sinACB,∴sin∠ACB=73,∵∠ACB90°∴∠ACB=41°_10_A_北_20_C_B30°∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆已知⊙O的半径为R，，在它的内接三角形ABC中，有BbaCARsin2sinsin222成立，求△ABC面积S的最大值．解：由已知条件得baBRBAR2sin2sinsin2222．即有2222babca，又222cos222abcbaC∴4c．34AB∴BARabCabSsinsin44242sin212222232sinsin()4222sin(cossin)22(sin21cos2)2[2sin(2)1]24RAARAAARAARA当32,()428AAB即时,2max212RS．如图,已知△ABC是边长为1的正三角形,M、N分别是边AB、AC上的点,线段MN经过△ABC的中心G.设2()33MGA.(1)试将△AGM、△AGN的面积(分别记为1S与2S)表示为的函数;(2)求221211ySS的最大值与最小值.解:(1)因为G为边长为1的正三角形ABC的中心,所以233,.3236AGMAG由正弦定理,sinsin()66GMGA3,6sin()6GM得11sin1sin().26(3cot)12sin()6SGMGA则或3,,sinsin()6sin()666GNGAGN又得21sin1sin()().26(3cot)12sin()6SGNGA则或2222221211144(2)sin()sin()72(3cot).sin66ySS因为233,所以当233或时,y的最大值max240y;当2时,y的最小值min216y.