(理科)一轮复习课件：第三章 第6讲 简单的三角恒等变换

第6讲简单的三角恒等变换1．转化思想转化思想是三角变换的基本思想，包括角的变换、函数名的变换、和积变换、次数变换等．三角函数公式中次数和角的关系：次降角升；次升角降．常用的升次公式有：1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2；1－sin2α＝(sinα－cosα)2；1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α.2．三角函数公式的三大作用(1)三角函数式的化简．(2)三角函数式的求值．(3)三角函数式的证明．3．求三角函数最值的常用方法(1)配方法．(2)化为一个角的三角函数．(3)数形结合法．(4)换元法．(5)基本不等式法．1．(2013年上海)若cosxcosy＋sinxsiny＝13，则cos(2x－2y)＝________.解析：cos(x－y)＝cosxcosy＋sinxsiny＝13，则cos(2x－2y)＝2cos2(x－y)－1＝29－1＝－79.79sin2x＋cos2x的最小正周期为2．(2014年山东)函数y＝_______.3．sin17°cos47°－sin73°cos43°＝______.4．(2013年上海)函数y＝4sinx＋3cosx的最大值是____.32π解析：y＝32sin2x＋cos2x＝32sin2x＋1＋cos2x2＝sin2x＋π6＋12，其周期为T＝2π2＝π.125解析：y＝4sinx＋3cosx＝42＋32sin(x＋φ)＝5sin(x＋φ)，其中tanφ＝34，则最大值是5.考点1三角函数式的求值问题例1：已知0＜α＜π4，0＜β＜π4，且3sinβ＝sin(2α＋β)，4tanα2＝1－tan2α2，求α＋β的值．思维点拨：由α2的关系可求出α的正切值．再依据已知角β和2α＋β构造α＋β，从而可求出α＋β的一个三角函数值，再据α＋β的范围，从而确定α＋β的值．由3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，得3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα.∴2sin(α＋β)cosα＝4cos(α＋β)sinα.解：由4tanα2＝1－tan2α2，得tanα＝2tanα21－tan2α2＝12.【规律方法】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换，要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系，找到解题的突破口与方向．∴tan(α＋β)＝2tanα.∴tan(α＋β)＝1.又∵0＜α＜π4，0＜β＜π4，∴0＜α＋β＜π2.∴α＋β＝π4.【互动探究】1．化简：1＋sin2x－cos2x1＋sin2x＋cos2x.解：原式＝1＋2sinxcosx－cos2x＋sin2x1＋2sinxcosx＋cos2x－sin2x＝2sin2x＋2sinxcosx2cos2x＋2sinxcosx＝2sinxsinx＋cosx2cosxsinx＋cosx＝tanx.2．已知sinx－cosx＝12，求sin3x－cos3x的值．解：由sinx－cosx＝12，得(sinx－cosx)2＝14，即1－2sinxcosx＝14.∴sinxcosx＝38.∴sin3x－cos3x＝(sinx－cosx)(sin2x＋sinxcosx＋cos2x)＝12×1＋38＝1116.考点2三角恒等式的证明思维点拨：证明三角恒等式，一般要遵循“由繁到简”的原则，另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角变换中经常使用的方法．例2：求证：sinα＋βsinα－βsin2αcos2β＝1－tan2βtan2α.证法一：左边＝sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβsin2αcos2β＝sin2αcos2β－cos2αsin2βsin2αcos2β＝1－cos2αsin2βsin2αcos2β＝1－tan2βtan2α＝右边．∴原式成立．证法二：右边＝1－cos2αsin2βsin2αcos2β＝sin2αcos2β－cos2αsin2βsin2αcos2β＝sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβsin2αcos2β＝sinα＋βsinα－βsin2αcos2β＝左边．∴原式成立．【互动探究】3．求证：sinβsinα＝sin2α＋βsinα－2cos(α＋β)．证法一：右边＝sin[α＋β＋α]－2cosα＋βsinαsinα＝sinα＋βcosα－cosα＋βsinαsinα＝sin[α＋β－α]sinα＝sinβsinα＝左边．证法二：∵sin2α＋βsinα－sinβsinα＝sin2α＋β－sinβsinα＝2cosα＋βsinαsinα＝2cos(α＋β)，∴sin2α＋βsinα－2cos(α＋β)＝sinβsinα.考点3三角变换与最值例3：(2014年天津)已知函数f(x)＝cosx·sinx＋π3－3cos2x＋34，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间－π4，π4上的最大值和最小值．解：(1)由已知，有f(x)＝cosx·12sinx＋32cosx－3cos2x＋34＝12sinx·cosx－32cos2x＋34＝14sin2x－34(1＋cos2x)＋34＝14sin2x－34cos2x＝12sin2x－π3，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)因为f(x)在区间－π4，－π12上是减函数，在区间－π12，π4上是增函数，f－π4＝－14，f－π12＝－12，fπ4＝14，所以函数f(x)在区间－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.【规律方法】求函数fx＝cosx·sinπ3x－3cos2x＋34的最值，首先利用三角变换将函数fx化简为fx＝Asinωx＋φ＋B的形式，然后结合函数图象利用单调性求最值.本题最容易出现的错误就是直接将π4，π4代入求值.【互动探究】4．(2013年新课标Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝_________.解析：f(x)＝sinx－2cosx＝515sinx－25cosx，设15＝cosα，25＝sinα，则f(x)＝5(sinxcosα－cosxsinα)＝5sin(x－α)．∵x∈R，∴x－α∈R，∴f(x)max＝5.又∵x＝θ时，f(x)取得最大值，∴f(θ)＝sinθ－2cosθ＝5.又sin2θ＋cos2θ＝1，∴sinθ＝15，cosθ＝－25，即cosθ＝－255.答案：－2555．(2012年大纲)当函数y＝sinx－cosx(0≤x＜2π)取最大值时，x＝_____.3解析：由y＝sinx－3cosx＝2sinx－π3，由0≤x＜2π⇔－π3≤x－π3＜5π3可知－2≤2sinx－π3≤2，当且仅当x－π3＝3π2即x＝11π6时取得最小值，当x－π3＝π2，即x＝5π6时，取得最大值．5π6易错、易混、易漏⊙利用三角函数的有界性求解____________．【失误与防范】解决这类问题往往用换元法，但容易忽略换元后新元t的取值范围，从而导致错解．例题：函数f(x)＝sin2x＋22cosπ4＋x＋3的值域为正解：原函数可化为f(x)＝sin2x＋2(cosx－sinx)＋3，设cosx－sinx＝t，t∈[－2，2]，则sin2x＝1－t2，f(x)＝－t2＋2t＋4＝－(t－1)2＋5.∴当t＝1时，f(x)max＝5.当t＝－2时，f(x)min＝2－22.答案：[2－22，5]1．化简要求：(1)能求值的要求出值；(2)使三角函数种数尽量少；(3)使项数尽量少；(4)尽量使分母不含三角函数；(5)尽量使被开方数不含三角函数．2．将二元问题转化为一元问题的常用方法有两种：一是代入法，二是代换法．最常用的代换就是三角代换．形如条件x2＋y2＝1，通常设x＝cosθ，y＝sinθ.在解析几何中常用三角代换，将二元转化为一元问题．向量、解析几何、实际应用等中的旋转问题也常引入角变量，转化为三角函数问题．利用三角函数的有界性，可以求函数的定义域、值域等．3．在进行三角函数的变换与求值时，要注意整体代换的灵活运用，不要一味追求将和差公式展开，如已知tanπ4－α＝3求tanα时，方法一是tanπ4－α＝tanπ4－tanα1－tanπ4·tanα＝3再求解；方法二是tanα＝tanπ4－π4－α＝1－tanπ4－α1＋tanπ4－α再求解．