初三数学平行四边形中位线性质[北师版]

九年级数学(上)第三章证明(三)1.平行四边形(4)三角形的中位线及性质驶向胜利的彼岸学好几何标志是会“证明”证明命题的一般步骤:(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);(2)根据题意,画出图形;(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”);(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;(6)检查表达过程是否正确,完善.回顾与思考1驶向胜利的彼岸平行四边形的性质与判定回顾与思考2性质判定边角对角线推论平行四边形的①两组对边分别平行②两组对边分别相等平行四边形的①对角相等②邻角互补平行四边形的对角线互相平分夹在两条平行线间的平行线段相等①两组对边分别平行的四边形②两组对边分别相等的四边形③一组对边平行且相等的四边形两组对角分别相等的四边形对角线互相平分四边形BDCAOBDCAMNPQ驶向胜利的彼岸等腰梯形的性质与判定回顾与思考2性质判定边角对角线两底平行,两腰相等等腰梯形同一底上的两个角相等等腰梯形的两条对角线相等两腰相等的梯形是等腰梯形同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形两条对角线相等的梯形是等腰梯形BDCABDCA驶向胜利的彼岸挑战分割三角形做一做P801你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗?连接每两边的中点,看看得到了什么样的图形?四个全等的三角形.请你设法验证上面的结论,你敢应战吗?连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.猜一猜,三角形中位线有什么性质?BCAD··E·F三角形中位线的性质P80定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.驶向胜利的彼岸想一想2已知:如图,DE是△ABC的中位线.分析:要证明线段的倍分关系到,可将DE加倍后证明与BC相等.从而转化为证明平行四边形的对边的关系,于是可作辅助线,利用全等三角形来证明相应的边相等.DEBCA.21BCDE求证:DE∥BC,三角形中位线的性质P80证明:如图,延长DE至F,使EF=DE,连接CF.驶向胜利的彼岸证一证2∵AE=CE,∠AED=∠CEF,∴△ABC≌△CDA(SAS).∴AD=CF,∠ADE=∠F.∴BD∥CF.∵AD=BD,∴BD=CF.DEBCAF∴四边形ABCD是平行四边形.∴DF∥BC,DF=BC..2121BCDFDE∴DE∥BC,(一组对边平等且相等的四边形是平行四边形)驶向胜利的彼岸三角形中位线性质的运用我来应战P813利用定理“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半”,请你证明下面分割出的四个小三角形全等.已知:如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点.求证:△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED.证明:∵D,E,F分别是△ABC各边的中点.(三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半).∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED(SSS).分析:利用三角形中位线性质,可转化用(SSS)来证明三角形全等.BCADEF.FCBFDE.DBADEF.EACEFD随堂练习P814驶向胜利的彼岸已知:如图,A,B两地被池塘隔开,在没有任何测量工具的情况下,有通过学习方法估测出了A,B两地之间的距离:先在AB外选一点C,然后步测出AC,BC的中点M,N,并测出MN的长,由此他就知道了A,B间的距离.你能说出其中的道理吗?CMBAN测量两点之间不能到达的距离的方法:------中位线法其中的道理是:连结A、B,∵MN是△ABC的的中位线,∴AB=2MN.一个运用中位线的重要“模型”驶向胜利的彼岸做一做P825如图,四边形ABCD四边的中点分别为E,F,G,H,四边形EFGH是怎样四边形?你的结论对所有的四边形ABCD都成立吗?猜想:四边形EFGH是平行四边形.这个结论对所有的四边形ABCD都成立.求证:四边形EFGH是平行四边形.分析:将四边形ABCD分割为三角形,利用三角形的中位线可转化两组对边分别平行或一组对边平行且相等来证明.证明:连接AC.∵E,F,G,H分别为各边的中点,∴EF∥HG,EF=HG.ABCHDEFG已知:如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别为各边的中点..21ACEF∴EF∥AC,HG∥AC,.21ACHG∴四边形EFGH是平行四边形.一个运用中位线的重要“模型”驶向胜利的彼岸做一做P826你敢应战吗？分组选一个课题试一试.改变四边形ABCD的形状，其它条件不变，□EFGH的形状会有什么变化？②四边形ABCD是矩形；③在四边形ABCD是菱形；④四边形ABCD是正方形；⑤四边形ABCD是梯形；⑥四边形ABCD是等腰梯形；ABCHDEFG①四边形ABCD是平行四边形；⑦四边形ABCD是对角线互相垂直的行四边形；⑧四边形ABCD是对角线相等的行四边形；⑨四边形ABCD是对角线相等且互相垂直的行四边形.三角形中位线的性质驶向胜利的彼岸定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.这个定理提供了证明线段平行,和线段成倍分关系的根据.模型:连接任意四边形各边中点所成的四边形是平行四边形.要重视这个模型的证明过程反映出来的规律:对角线的关系是关键.改变四边形的形状后,对角线具有的关系(对角线相等,对角线垂直,对角线相等且垂直)决定了各中点所成四边形的形状.回顾思考∵DE是△ABC的中位,DEBCA.21BCDE∴DE∥BC,ABCHDEFG知识的升华独立作业P85习题3.31,2,3,4题.祝你成功！驶向胜利的彼岸P85习题3.31题.独立作业1.已知:在△ABC中,D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点.求证:四边形AFDE的周长等于AB+AC.驶向胜利的彼岸ACFBEDP85习题3.32题.独立作业2.求证:三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.驶向胜利的彼岸ACFBEDP85习题3.33题.独立作业3.已知:如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,CD,AC,BD的中点.求证:四边形EGFH是平行四边形.驶向胜利的彼岸DCBGAFHEP85习题3.34题.独立作业4.已知:已知三角形各边长分别是8cm,10cm和12cm.求以各边中点为顶点的三角形的周长.驶向胜利的彼岸ACFBED结束寄语•严格性之于数学家,犹如道德之于人.•条理清晰，因果相应,言必有据.是初学证明者谨记和遵循的原则.下课了!驶向胜利的彼岸