初三数学弦切角及和圆有关的比例线段知识精讲 人教版

用心爱心专心119号编辑1初三数学弦切角及和圆有关的比例线段知识精讲一.本周教学内容：弦切角及和圆有关的比例线段二.重点、难点：1.弦切角的概念：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。注意：弦切角必须具备三个条件：（1）顶点在圆上（切点），（2）一边和圆相切，（3）一边和圆相交（弦），三者缺一不可。2.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。3.弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。弦切角是和圆有关的角之一，其他几种有圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。这四种角之间的关系及转换是与圆有关的论证及计算的基础。4.相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。5.相交弦定理的推论：如果弦与直径相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。6.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。7.切割线定理的推论（或称割线定理）：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。本节是本章中综合性最强的部分，是本章及初中平面几何中难点之一。其中，相交弦定理、切割线定理及割线定理在证明等积式、比例式和线段长度的计算中起着极其重要的作用。这三个定理实际是一个整体，可以看做相交弦交点从圆内移到圆外，由割线旋转到切线时的结果。应用定理和推论解题时，要注意数形结合的思想、方程思想的运用。由于定理和推论的结论都是两条线段乘积的形式，所以一元二次方程更显威力。例1.如图，经过⊙O上的点T的切线和弦AB的延长线相交于点C。求证：∠ATC＝∠TBCOTABCE证明一：∵TC为⊙O切线，∴∠BTC＝∠A∵∠TBC＝∠A＋∠ATB∴∠TBC＝∠BTC＋∠ATB即∠ATC＝∠TBC证明二：∵∠ETA＝∠TBA又∵∠ATC＝180°－∠ETA∠TBC＝180°－∠TBA用心爱心专心119号编辑2∴∠ATC＝∠TBC证明三：在上任取一点，连结、EADADDTOTABCED∵TC为⊙O切线∴∠ATC＝∠D∵圆内接四边形ABTD∴∠TBC＝∠D∴∠ATC＝∠TBC例2.已知：如图，AB是⊙O的弦，P是AB上的一点，AB＝10cm，PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。BAOP解析：由P为AB上的一点，且由已知PA、PB，故联想到相交弦定理，所以需把OP向两方延长，分别与圆相交，再利用相交弦定理解之。ABCDOP解：向两方延长OP，分别交⊙O于C、D由相交弦定理有：BP·AP＝CP·DP又∵CP＝CO＋OP，DP＝OD－OP，CO＝DOBPAPCOOPCOOPCOOP22ABPA104，BP6OPOCCO564549222，，用心爱心专心119号编辑3COCO07，答：⊙O半径为7cm。此题还可以利用垂径定理、勾股定理求解，过O点作OD⊥AB于D，连结OB，则DP＝1，BD＝5，ODOB2425247，进而求出，与上面方法比较繁一些。BAOPD例3.如图，△ABC内接于⊙O，PA切⊙O于A，过BC的中点D作割线PGF交AB于E，且AC//PF。（1）求证：AE2＝PE·DE；（2）若AE＝4，PE＝5，EF＝8，求PA的长。OCABFDPEG（1）证明：∵PA是⊙O切线，∴∠PAB＝∠C∵PF//AC，∴∠C＝∠PDB，∴∠PAB＝∠PDB又∠∠，AEPDEBPAEBDE~AEDEPEBEAEBEDEPE，BDDCPFAC，//BEAEAEPEDE2（2）解：根据相交弦定理：AE·BE＝GE·EFAEEFGEGE48822，，，PEPGPEGE5523，PFPEEF5813∵PA是⊙O的切线PAPGPF231339用心爱心专心119号编辑4PA39例4.AB是半圆O的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于D，连结AD，若AD＝15，sinC35，求BC的长。OACBD分析：由于sinC35，因此要把∠C放在直角三角形中使用，连结OD，可以利用切线性质得到Rt△ODC，于是切线长CD，半径OD及OC的比值就可求出了。连结DB，利用切割线的比求出AD、DB的比值，又可用Rt△ADB，求出AB的长度。解：连结OD、DB∵CD是⊙O切线，∴OD⊥CD在中，RtODCCODOCsin35设，，则ODkOCkDCk354ODOBBCkkkABk，，5326CDBACC，CDBCAD~DBADBCCDkk2412ADDBAD151275，.∵AB是⊙O直径ADB90ABADDB222215751525.61525kBCk2525注意：将Rt△ADB中，DB、AD两边的比转化为切线、割线的比，（即）在这类图形中常用。DCACBCCDDBAD例5.如图，P是⊙O直径CB延长线上的点，PA切⊙O于A，PA＝15，PB＝5，弦AD交CB于点M。（1）若MA2＝MB·MP，试判断CD与AP是否平行，并说明理由。用心爱心专心119号编辑5（2）求弦AC的长。（3）当点D在⊙O上运动时，可以得到△ACD的最大面积，请计算这个最大面积。（1）CD//APAPBMOCND(D)证明：连结ABMAMBMP2MAMBMPMA又AMBPMAAMBPMAPBAM~又BAMBCDPPCDCDAP//（2）解：∵PA是⊙O的切线，PBC是⊙O的割线PAPBPC2又，PAPB155PCPAPB2215545BCPCPB45540PPPABPCA，PABPCA~ACABPAPB1553设，ABxACx3BCOCAB是⊙直径，90BCABACx221040x410用心爱心专心119号编辑6ACx31210（3）由（2）可知，在△ACD中，AC是定值∴点D到AC的距离最大时，△ACD的面积最大如图，作垂直于弦的直径交于点，交优弧于点ACACNABCD此时△ACD的面积最大CNANOCOB，ONAB1212410210ODBC1220DNONOD20210SACDNACD121210102102012012010此题用了圆中的不少知识、概念，综合性较强。例6.已知：如图，AB是⊙O直径，C为半圆的三等分点，PB、PC分别切⊙O于C，且AB＝14，PA交⊙Ｏ于点D，DE//PB交AB于点F，交⊙O于点E。（1）求AD的长；（2）求tan∠AED。ACPBEODF解：（1）连结BC、AC∵AB是直径，∴∠ACB＝90°CAC为半圆的三等分点，的度数为60ABC30BCABcos30143273PBPCOBC、分别切⊙于、PBPCABP，90CBPABC9060用心爱心专心119号编辑7PBPCBC73在中，RtABPAPABBP2277BPPDAP2PDBPAP22737737ADPAPD47（2）∵DE∥PB，AB⊥BP∴DE⊥AB于F∵AB是⊙O直径AEDAEADEADEAPBEAPBtanAPBABBP1473233tanAED233例7.已知：如图，AB为⊙O直径，BC为⊙O切线，B为切点，AC交⊙O于D，EDBDDEBAPCDCPA，的延长线与的延长线交于，若求的长9545,sin,OBCPDAE321解：连结OD∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线ADBABC90sinCBDBC45设BC＝5k，BD＝4k则CDBCBDk22395用心爱心专心119号编辑8k35BDk4435125BCk55353BCCDAC2ACBCCD29955ABACBC2222534AOAB122BDEDEDBD12512，OAOD2313AEOD//PEPAEDAO125265设，PEaPAa65PEPDPAPB66125554aaaaa2855PAa52811一.选择题。1.如图1所示，⊙O的两条弦AB、CD相交于点E，AC和DB的延长线交于点P，下列结论中成立的是（）用心爱心专心119号编辑9A.PC·CA＝PB·BDB.CE·AE＝BE·DEC.CE·CD＝BE·BAD.PB·PD＝PC·PA2.如图2所示，AB切⊙O于B点，BE是⊙O的直径，切线AD与BE延长线交于C点，若CDCE3，则（）A.BECE3B.ADCDC.ABBED.CBAB3.PT切⊙O于T，PB为经过圆心的割线交⊙O于A点（PBPA），若PT4，PA2，则cosBPT等于（）A.45B.12C.18D.344.如图3，AB为⊙O的弦，且AB⊥OP于D，PA为圆O的切线，A为切点，ABcmODcm83，，则PA等于（）A.253cmB.203cmC.5cmD.8cm5.如图4所示，AB是半圆的直径，C是半圆上一点，CD⊥AB于D，CD＝1，E是AC上任意一点，且∠EDC＝∠FDC，以下结论正确的是（）（1）ECCF，（2）∠E与∠F互补，（3）DE·DF是变量，（4）DE·DF＝1，（5）∠F＝∠ECD用心爱心专心119号编辑10A.（1）（2）（3）B.（3）（5）B.（2）（4）D.（4）（5）二.填空题。1.在直径为2的圆外有一点P到圆的最近点的距离为3，则从P点所引圆的切线长是___________。2.如图5所示，AD切⊙O于D点，ABC为割线，AD＝24，AB＝18，A90，则⊙O半径为____________。3.已知在RtABC中，C90，D是AC上一点，以CD为直径作⊙O切AB边于E点，AE＝2，AD＝1，则SABC___________。4.PA切圆于A点，PBC是过圆心的割线，交圆于B、C两点，PAcm42，PBcm2，则圆的半径等于__________cm。三.解答题及证明题。1.如图6所示，已知AD是⊙O的切线，D是切点，ABC是⊙O的割线，DE⊥AO于E。求证：∠AEB＝∠ACO2.如图7所示，⊙O是ABC的外接圆，∠ACB的平分线CE交AB于D，交⊙O于E，⊙O的切线EF交CB的延长线于F。求证：AEADEF2用心爱心专心119号编辑113.已知：如图8所示，AB为半圆的直径，C、D为半圆弧上的两点，若CDBD，DC与BA的延长线交于P，若AP：CP＝3：4，SADB165，求AP的长。4.如图9所示，AB切⊙O于A，AC经过圆心O交圆于点D，BC交圆于点M、N，且使MB＝MN＝NC，若AB＝2，求⊙O的半径。5.如图10所示，⊙O的两弦AB和CD交于P，过P作PM//AD交CB的延长线于M，过M作⊙O的切线ME。求证：MP＝ME6.如图11所示，已知⊙O中弦AB//CD，BG切⊙O于B，交CD延长线于点G，P是CD上一点，PA、PB分别交CD于E、F两点。求证：EF·FG＝FD·FC用心爱心专心119号编辑127.如图12所示，AB是⊙O的直径，M是AB上一点，MP⊥AB交⊙O于N，PD是⊙O的割线交⊙O于C、D。求证：PC·PD＋MA·MB＝PM2用心爱心专心119号编辑13[参考答案]一.选择题。1.D2.B3.A4.B5.D二.填空题。1.152.253.64.7三.解答题及证明题。1.提示：连结OD，则OD⊥AD又DE⊥AO于E，则ADAEAO2又AD切⊙