2015-2016学年高中数学 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件 新人教A版必修4

第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式题型1基本公式的运用例1化简求值：(1)sin14°cos16°＋sin76°cos74°；(2)sinx＋π3＋2sinx－π3－3cos2π3－x；(3)tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°.解析：(1)原式＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°＝sin()14°＋16°＝sin30°＝12.(2)原式＝sinxcosπ3＋cosxsinπ3＋2sinxcosπ3－2cosxsinπ3－3cos2π3cosx－3sin2π3sinx＝3sinxcosπ3－cosxsinπ3－3cos2π3cosx－3sin2π3sinx＝3cosπ3－3sin2π3sinx－sinπ3＋3cos2π3cosx＝3×12－3×32sinx－32－3×12cosx＝0.(3)∵tan60°＝tan()23°＋37°＝tan23°＋tan37°1－tan23°tan37°＝3，∴tan23°＋tan37°＝3－3tan23°tan37°，故得tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°＝3.点评：化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于应用．对于三角函数式的化简，要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数的种数最少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含有三角函数式；⑤尽量使被开方数不含有三角函数式．►跟踪训练1．化简求值：sin15°－cos15°cos15°＋sin15°.解析：原式＝tan15°－11＋tan15°＝tan15°－tan45°1＋tan45°·tan15°＝tan()15°－45°＝tan()－30°＝－tan30°＝－33.题型2利用公式求值例2已知π4α3π4，0βπ4，cosπ4－α＝35，sin3π4＋β＝513，求sin()α＋β的值．分析：3π4＋β－π4－α＝π2＋()α＋β.解析：∵π4α3π4，∴－π2π4－α0.∵cosπ4－α＝35，∴sinπ4－α＝－45.∵0βπ4，∴3π43π4＋βπ，又∵sin3π4＋β＝513，∴cos3π4＋β＝－1213，∴cosπ2＋()α＋β＝cos3π4＋β－π4－α＝cos3π4＋βcosπ4－α＋sin3π4＋βsinπ4－α＝－1213×35＋513×－45＝－5665，故得－sin()α＋β＝－5665，即sin()α＋β＝5665.点评：利用三角函数化简求值时，首先分析已知角与特殊角之间的关系，然后再利用相应的和(差)公式求解．这样处理的目的在于能较好地借助于已知角进行运算，从而可以简化运算步骤．►跟踪训练2．化简求值：(1)sin75°；(2)sin15°；(3)若α，β均为锐角，sinα＝255，sin(α＋β)＝35，求cosβ.解析：(1)原式＝sin()45°＋30°＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.(2)原式＝sin()45°－30°＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝22×32－22×12＝6－24.(3)∵α，β为锐角，且sinα＝255，sin()α＋β＝35，∴cosα＝55，且由sinα＝25532，得απ3.又12sin()α＋β＝3532，∴α＋βπ2，∴cos()α＋β＝－45.∵β＝(α＋β)－α，∴cosβ＝cos[]()α＋β－α＝cos()α＋βcosα＋sin()α＋βsinα，＝－45×55＋35×255＝2525.题型3利用公式解决给值求角问题例3已知cosα＝17，cos()α－β＝1314，且0βαπ2.(1)求tanα的值；(2)求β.分析：本题中β＝α－()α－β.解析：(1)∵cosα＝17，0βαπ2，∴sinα＝437，∴tanα＝sinαcosα＝43.(2)∵0βαπ2，∴0α－βπ2.∵cos()α－β＝1314，∴sin()α－β＝3314.由β＝α－()α－β，得cosβ＝cos[]α－()α－β＝cosαcos()α－β＋sinαsin()α－β＝17×1314＋437×3314＝497×14＝12.∵0βπ2，所以β＝π3.点评：解答此类问题分三步：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的范围写出所求的角．特别注意选取角的某一个三角函数值，是取正弦，还是取余弦．应先缩小所求角的取值范围，最好把角的范围缩小在某一三角函数值的一个单调区间内．►跟踪训练3．(1)已知tanα＝2，tanβ＝3，且α，β都是锐角，求α＋β；(2)已知α，β均为锐角，sinα＝55，cosβ＝1010，求α－β.解析：(1)tan()α＋β＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝2＋31－2×3＝－1.∵α，β都是锐角，∴0α＋βπ，由上式知α＋β＝3π4.(2)∵α，β都是锐角，sinα＝55，cosβ＝1010，∴cosα＝255，sinβ＝31010.∵α，β都是锐角，且sinαsinβ，∴αβ，∴－π2α－β0，∴sin()α－β＝sinαcosβ－cosαsinβ＝55×1010－255×31010＝－22.∴α－β＝－π4.题型4化简与证明例4求证：sin()α＋βsin()α－β＝sin2α－sin2β.证明：左边＝()sinαcosβ＋cosαsinβ()sinαcosβ－cosαsinβ＝sin2αcos2β－cos2αsin2β＝sin2α(1－sin2β)－(1－sin2α)sin2β＝sin2α－sin2αsin2β－sin2β＋sin2αsin2β＝sin2α－sin2β＝右边．点评：这个恒等式很特别，与实数的平方差公式相似，为此，也把它称为三角正弦平方差公式．事实上，还可以证明恒等式cos()α＋βcos()α－β＝cos2α＋cos2β－1.4．在斜△ABC中，求证：tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.分析：在△ABC中，A＋B＋C＝π.证明：在△ABC中，∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴tan()A＋B＝tan()π－C＝－tanC，►跟踪训练∴tanA＋tanB1－tanAtanB＝－tanC，∴tanA＋tanB＝－tanC(1－tanA·tanB)，即tanA＋tanB＝－tanC＋tanA·tanB·tanC，亦即tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.