对数留数与辐角原理

第四节对数留数与辐角原理一、对数留数二、辐角原理三、路西定理四、小结与思考一、对数留数1.定义具有下列形式的积分:Czzfzfid)()(21.)(的对数留数关于曲线称为Czf说明:1)对数留数即函数f(z)的对数的导数)()(zfzf在C内孤立奇点处的留数的代数和;2)函数f(z)的零点和奇点都可能是)()(zfzf的奇点.2.定理一,)(上解析且不为零在简单闭曲线如果Czf,以外也处处解析的内部除去有限个极点在C那么.d)()(π21PNzzfzfiC内零点的总个数,P为f(z)在C内极点的总个数.其中,N为f(z)在C且C取正向.注意:m级的零点或极点算作m个零点或极点.证，级的零点内有一个在设kkanCzf)(),()()(zazzfknk内，则在kaz)0)((z),()()()()(zazzaznzfkknknkk内，在kaz0.)()()()(zzaznzfzfkk.)()(数是这一邻域内的解析函zz.)()(kknzfzfa的一级极点且留数为是，级的极点内有一个在设kkbpCzf)(),()(1)(zbzzfkpk内，则在kbz0)0)((z),()()()()(1zbzzbzpzfkkpkpkk内，在kbz0.)()()()(zzbzpzfzfkk.)()(数是这一邻域内的解析函zz.)()(kkpzfzfb的一级极点且留数为是,,,,,,,,,,,,,)(21212121mmllbbbpppmaaannnlCzf的极点个级数分别为和的零点个级数分别为内有在如果Czzfzfid)()(π21,,)()(Res,)()(Res11mkklkkbzfzfazfzf)(d)()(π2121lCnnnzzfzfi),(21mppp.d)()(π21PNzzfzfiC或[证毕]由以上所述和留数定理，得二、辐角原理)(zfw考察变换Cz)(zfw.wArg不一定为简单闭曲线,其可按正向或负向绕原点若干圈..,)(不经过原点则上不为零在Czf1.对数留数的几何意义,d)()()(dLnzzfzfzf因为.)(dLnπ21d)()(π21CCzfizzfzfi所以的改变量的正向绕行一周沿当)(Lnπ21zfCzi的改变量的正向绕行一周沿当)(lnπ21zfCzi.)(Arg的改变量zfi单值函数等于零:)(Arg的改变量zfi;,)1那么改变量为零不包含原点如果,2,)2ik那么改变量为包含原点如果,,逆时针为负围绕原点的圈数沿为其中wk.顺时针为正结论:(k总为整数)对数留数的几何意义是绕原点的回转次数k的辐角的改变量的正向绕行一周沿若将)(,zfCz)(ArgzfC记为由定理一及对数留数的几何意义得)(Arg21zfPNC0,)(PCzf内解析时在当)(Arg21zfNC可计算f(z)在C内零点的个数此结果称为辐角原理2．定理二(辐角原理)如果f(z)在简单闭曲线C上与C内解析,且在C上不等于零,那么f(z)在C内零点的个数等于21乘以当z沿C的正向绕行一周f(z)的辐角的改变量.三、路西定理定理三(路西定理),)()(内解析上和在简单闭曲线与设CCzgzf,)()(zgzfC上满足条件且在.)()(的零点的个数相同zgzf说明:与内那么在)(zfC利用此定理可对两个函数的零点个数进行比较.,)()(内解析上和在简单闭曲线与设CCzgzf,)()(zgzfC上满足条件且在证,0)(zfC上则在,0)()()()(zgzfzgzf,)()()(:内部的零点个数在与与设CzgzfzfNN在C内部解析),(Argπ21zfNC.)()(Argπ21zgzfNC0)(,zfC上因为在,)()(1)()()(zfzgzfzgzf所以)()(ArgzgzfC)()(1ArgzfzgC)(ArgzfC.)()()(的零点个数相同与即zgzfzf,)()(1zfzgw令,1)()(1zfzgw则,1为中心的单位圆内在以即w,,不围绕原点的象曲线因此C,0)()(1ArgzfzgC从而,NN所以[证毕]例1试证方程)0(001110aazazazannnn.个根有n证,)(0nzazf令nnnnnzaazazazazfzg012211)()(则,111020201nnzaazaazaa,)(111nnnazazazg,Rz取,)()(:成立上和圆外在圆即zgzfRz在圆内有相同个和由路西定理)()()(,zgzfzf.数的零点在圆内的零点数为n在圆内的零点数也为n,)()(zgzf又因在圆上和圆外,在圆上和圆外无根0)()(zgzf,1)()(,zfzgR使充分大.个根所以原方程有n例2的关于圆周求函数zzzzf2cos11)(2对数留数.解,012得令z得再令0π2cos1)(zzg有无穷多个零点)(zg,0)(ng且所以这些零点是二级零点,.,)(iizf有两个一级零点.,2,1,0,nnzn,0π4)(2ng从而是f(z)的二级极点.的内部有因为在圆周πz:和七个二级极点,24z所以由对数留数公式得πd)()(π21zzzfzfi272.12的两个一级零点)(zf,00z,12z,11z,23z,35z.36z四、小结与思考通过本课的学习,应熟悉对数留数及其与函数的零点及极点的关系;了解辐角原理与路西定理.思考题.10154内根的个数在区域求方程zzz思考题答案只有一个根.放映结束，按Esc退出.