北师大版九下数学《垂径定理》

3.3垂径定理（2）定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.●OABCDM└CD⊥AB,如图∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.条件CD为直径CD⊥ABCD平分弧ADBCD平分弦ABCD平分弧ACB结论复习回顾CD⊥AB,AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.•你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.过点M作直径CD.●O下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?小明发现图中有:CD由CD是直径AM=BM可推得⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.●MAB探究新知定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.思考：平分弧的直径会垂直平分弧所对的弦吗？CD⊥AB,•你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.●O下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?小明发现图中有:CD由CD是直径AC=BC可推得⌒⌒AD=BD.●MABAB是⊙O的一条弧,且AC=BC.⌒⌒⌒⌒⌒AM=BM定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.你可以写出相应的命题吗?如图,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果在下列五个条件中:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.●OABCDM└①CD是直径,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●OABCDM└条件结论命题①②③④⑤①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对优弧（5）平分弦所对的劣弧做一做（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧…………………………………………..()（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心……………………………………..()（3）不与直径垂直的弦必不被这条直径平分…………………………………………...()（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧………………………………………()（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）×√××√（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧.（7）平分弦的直线，必定过圆心.（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦.ABCDO(6)ABCDO(7)ABCDO(8)（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径.（10）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦.（11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分.ABCO(9)ABCDO(10)ABCDO(11)E例3、1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.02m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.1m).例题探究解：如图，用表示桥拱，所在圆的圆心为O，半径为Rm，经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与相交于点C.根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高.由题设ABABABAB37.02,7.23,ABCDABAD21137.0218.51,2DCOCOD7.23.R在Rt△OAD中，由勾股定理，得,222ODADOA22218.51(7.23).RR即解得R≈27.3（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.3m.OABCRD37.027.23变型：如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC.设弯路的半径为Rm●OCDEFOF=(R-90)m.OECD,Q).(3006002121mCDCF得根据勾股定理,OCCFOF222.90300222RR.545,R得解这个方程.545m这段弯路的半径约为船能过拱桥吗如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？解:如图,用表示桥拱,所在圆的圆心为O,半径为Rm,经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是的中点,CD就是拱高.由题设得ABABABAB.5.121,4.2,2.7MNHNCDABABAD21,6.32.721DCOCOD.4.2R在Rt△OAD中，由勾股定理，得,222ODADOA.)4.2(6.3222RR即解得R≈3.9（m）.在Rt△ONH中，由勾股定理，得,22HNONOH.6.35.19.322OH即.21.25.16.3DH∴此货船能顺利通过这座拱桥.1、圆是轴对称图形，其对称轴是每一条直径所在的直线或经过圆心的每一条直线.2、垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦弦所对的两条弧.CD平分弧ADBCD平分弦ABCD平分弧ACBCD过圆心CD⊥ABCDBAO课堂小结1、课内练习2、课后作业题A组课后作业