22离散型随机变量及其概率分布(精)

Ch2-12§2.2离散型随机变量及其概率分布定义若随机变量X的可能取值是有限个或可列个,则称X为离散型随机变量描述X的概率特性常用概率分布或分布律,2,1,)(kpxXPkkXkxxx21Pkppp21或离散随机变量及分布律即§2.2Ch2-13分布律的性质,2,1,0kpk非负性11kkp归一性X~或kxxx21kppp21Ch2-14F(x)是分段阶梯函数,在X的可能取值xk处发生间断,间断点为第一类跳跃间断点,在间断点处有跃度pk.离散随机变量及分布函数)()()(1kkkkxFxFxXPp))(()()(xxkkxXPxXPxFxxkxxkkkpxXP)(其中.kkxx1Ch2-153,2,1,0),1()(kppkXPk解,)4(4pXP例1设汽车在开往甲地途中需经过4盏信号灯,每盏信号灯独立地以概率p允许汽车通过.出发地甲地首次停下时已通过的信号灯盏数,求X的概率分布与p=0.4时的分布函数.令X表示例1Ch2-16•0•1•2•3•4xx]],84.024.06.021x,6.010x,00x,936.0096.084.032x,9744.00384.0936.043x14x)(xF]•]••kpk012340.60.240.0960.03840.0256代入4.0p)(xXPCh2-17•0•1•2•3•4xF(x)o•o•1•o•o•oCh2-18用分布律或分布函数来计算事件的概率例2在上例中,分别用分布律与分布函数计算.)31(XP例2解)31(XP)3()2()1(XPXPXP3744.0)4.04.04.0(6.032或)31(XP6.09744.0)01()3(FF此式应理解为极限)(lim1xFxCh2-19作业P69习题二23习题45Ch2-20(1)0–1分布1,0,)1()(1kppkXPkk是否超标等等.常见离散r.v.的分布凡试验只有两个结果,常用0–1分布描述,如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗X=xk10Pkp1-p0p1应用场合或Ch2-21(2)二项分布n重Bernoulli试验中,X是事件A在n次试验中发生的次数,P(A)=p,若nkppCkXPkPknkknn,,1,0,)1()()(则称X服从参数为n,p的二项分布，记作),(~pnBX0–1分布是n=1的二项分布Ch2-22二项分布的取值情况设),8(~31BX.039.156.273.273.179.068.017.0024.00000123456788,,1,0,)1()()()(8313188kCkXPkPkkk0.273•由图表可见,当时，32或k分布取得最大值273.0)3()2(88PP此时的称为最可能成功次数kxP•0•1•2•3•4•5•6•7•8Ch2-2324680.050.10.150.20.25Ch2-24设)2.0,20(~BX.01.06.14.21.22.18.11.06.02.01.002.00101234567891011~20••xP•••••1•3•5•7•9••••0•2•4•6•8•10•20由图表可见,当时，4k分布取得最大值22.0)4(20P0.22•Ch2-2551015200.050.10.150.2Ch2-26例3独立射击5000次,命中率为0.001,例4解令X表示命中次数,则X~B(5000,0.001)求命中次数不少于1次的概率.(1)1(1)1(0)PXPXPX00500050001(0.001)(0.999)C.9934.0本例启示小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，就成大概率事件.Ch2-27由此可见日常生活中“提高警惕,防火由于时间无限,自然界发生地震、海啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的同样,人生中发生车祸、失恋、患绝症、考试不及格、炒股大亏损等都是正常现象,大可不必怨天尤人,更不要想不开而防盗”的重要性.事，不用奇怪，不用惊慌.跳物理楼(交大闵行校区最高楼)自杀.启示Ch2-28,则对固定的k,2,1,0!)1(limkkeppCkknnknknn0nnp设Possion定理Poisson定理说明若X~B(n,p),则当n较大，p较小,而适中,则可以用近似公式np,2,1,0,!)1(kkeppCkknkkn问题如何计算？)2500(XPCh2-29证knnknknnknknnnkknnnppC1!)1()1()1(nnnp记nknnnknnnnknkn)(1!1111!kek,2,1k结论二项分布的极限分布是Poisson分布Ch2-30解令X表示命中次数,则5np令.9933.01)1(5eXP利用Poisson定理再求例3X~B(5000,0.001)Ch2-31在实际计算中,当n20,p0.05时,可用上述公式近似计算;而当n100,np10时,精度更好00.3490.3580.3690.3660.36810.3050.3770.3720.3700.36820.1940.1890.1860.1850.18430.0570.0600.0600.0610.06140.0110.0130.0140.0150.015按二项分布按Possion公式kn=10p=0.1n=20p=0.05n=40p=0.025n=100p=0.01=np=1Ch2-32在Poisson定理中，0!kek1!3!21!!3200eeekekekkkk由此产生了一种离散型随机变量的概率分布—Poisson分布Ch2-33(3)泊松(Poisson)分布若,2,1,0,!)(kkekXPk其中0是常数，则称X服从参数为的Poisson分布.或)(~X)(P记作Ch2-34在某个时段内：大卖场的顾客数；某地区拨错号的电话呼唤次数；市级医院急诊病人数；某地区发生的交通事故的次数.①②③④⑤一个容器中的细菌数；一本书一页中的印刷错误数；一匹布上的疵点个数；⑥⑦⑧应用场合放射性物质发出的粒子数；Ch2-35作业P70习题二6(2)(3)7912习题Ch2-365(2)已知运载火箭在飞行中进入其仪器舱的宇宙粒子数服从参数为2的泊松分布.而进入仪器舱的粒子随机落到仪器重要部位的概率为0.1,求落到仪器重要部位的粒子数的概率分布.第五周问题BlaisePascal1623-1662帕斯卡法国数学家物理学家思想家帕斯卡帕斯卡四岁丧母,在父亲精心培养下,16岁时发现帕斯卡六边形定理,写成《圆锥曲线论》,由此定理导出400余条推论,这是古希腊阿波罗尼奥斯以来圆锥曲线论的最大进步.帕斯卡简介1642年发明世界上第一台机械加法计算机——帕斯卡计算器.他应用此方法解决了摆线问题.1654年研究二项系数性质,写出《论算术三角形》一文,还深入讨论不可分原理,这实际上相当于已知道andxx011nan1647年他发现了流体静力学的帕斯卡原理.三十岁时他曾研究过赌博问题,对早期概率论的发展颇有影响.1658年完成了《摆线论》,这给G.W.莱布尼茨以很大启发,促使了微积分的建立.在离散型随机变量的分布中有个以帕斯卡名字命名的分布，它应用于重复独立试验中，事件发生次的场r帕斯卡还写过不少文学著作.1654年他进入修道院,献身于哲合.而有名的几何分布正是其时的特例.1r学和宗教.Ch2-42解(1)设需要配备N个维修工人,设X为90台设备中发生故障的台数，则X~B(90,0.01)自学（详解见教材P.61例6)设同类型设备90台，每台工作相互独立，每台设备发生故障的概率都是0.01.在通常情况下，一台设备发生故障可由一个人独立维修，每人同时也只能维修一台设备.(1)问至少要配备多少维修工人，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?(2)问3个人共同负责90台还是3个人各自独立负责30台设备发生故障不能及时维修的概率低？附例附例Ch2-4390190)99.0()01.0()(NkkNkkCNXP令9.001.090则9019.0!9.0)(NkkkeNXP919.019.0!9.0!9.0kkNkkkeke19.0!9.0Nkkke01.0查附表2得N=4Ch2-44(2)三个人共同负责90台设备发生故障不能及时维修的概率为9049.0!9.0)3(kkkeXP919.049.0!9.0!9.0kkkkkeke49.0!9.0kkke013459.0Ch2-45设30台设备中发生故障的台数为Y~B(30,0.01)设每个人独立负责30台设备，第i个人负责的30台设备发生故障不能及时维修为事件Ai则23.0!3.0)2()(kkikeYPAP0369.03,2,1i三个人各独立负责30台设备发生故障不能及时维修为事件321AAA31321)(1iiAPAAAP1067.0)0369.01(13013459.0故三个人共同负责90台设备比各自负责好！