解三角形练习题

-1-1、△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a2，则ab（）A．23B．22C．3D．22、在ABC中．222sinsinsinsinsinBCBC.则A的取值范围是（）(A)(0，6](B)[6，)(c)(0，3](D)[3，)3、在ABC中，角,,ABC所对的边分,,abc.若cossinaAbB，则2sincoscosAAB()(A)-12(B)12(C)-1(D)1.4、若△ABC的内角，,,ABC满足6sin4sin3sinABC，则cosB（）A．154B．34C．31516D．11165、在△ABC中，若222sinsinsinABC，则△ABC的形状是（）A、钝角三角形B、直角三角形C、锐角三角形D、不能确定6、在△ABC中，AC=7，BC=2，B=60°，则BC边上的高等于A．32B.332C.362D.33947、在△ABC中，若60A，45B，32BC，则ACA.43B.23C.3D.328、已知ABC中，CBA,,的对边分别为a,b,c若a=c=26且75Ao，则b=A.2B．4＋23C．4—23D．62二：填空题1、在△ABC中，若a=3，b=3，∠A=3，则∠C的大小为_________。【答案】902、在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，3BC，则AC=_______.【答案】2．3、设△ABC的内角ABC、、的对边分别为abc、、，且1cos4abC=1，=2，，则sinB【答案】4154、在三角形ABC中，角A,B,C所对应的长分别为a，b，c，若a=2，B=6，c=23，则b=.-2-【答案】2.5、在△ABC中，三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，若22220abcab，则角C的大小为．34（或135）6、△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知2,3ab，则sinsin()AAC.237、若△ABC的面积为3，BC=2，C=60，则边AB的长度等于_____________.解析：12sin603,22sACAC，所以△ABC为等边三角形，故边AB的长度等于2.答案应填2.8、如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=23，点D在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于______。解析：在△ABC中，AB=AC=2，BC=23中，30ACBABC，而∠ADC=45°，sin45sin30ACAD,2AD,答案应填2。9、△ABC中B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为。解析：本题考查余弦定理和面积公式，属于容易题。有余弦定理得1200222cos2BCACBCACAB所以BC=3，有面积公式得S=431510、在△ABC中，60,3BAC，则2ABBC的最大值为。解析：00120120ACCA,0(0,120)A,22sinsinsinBCACBCAAB022sin2sin(120)3cossinsinsinABACABCAAACB；2ABBC3cos5sin28sin()27sin()AAAA，故最大值是27三、解答题1、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=3acosB。（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值.-3-【解析】（1）bsinA=3acosB，由正弦定理可得sinsin3sincosBAAB，即得tan3B，3B.（2）sinC=2sinA，由正弦定理得2ca，由余弦定理2222cosbacacB，229422cos3aaaa，解得3a，223ca.2、设△ABC的内角CBA,,所对边的长分别为,,,cba，且有CACAABsincoscossincossin2。（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ)若2b，1c，D为BC的中点，求AD的长。【解析】3、已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=3asinC－ccosA(1)求A(2)若a=2，△ABC的面积为3，求b,c4、在ABC中，已知．BCBAACAB3（1）求证：tan3tanBA；（2）若5cos5C，求A的值．-4-（1）∵3ABACBABC，∴cos=3cosABACABABCB，即cos=3cosACABCB。由正弦定理，得=sinsinACBCBA，∴sincos=3sincosBAAB。又∵0AB，∴cos0cos0AB，。∴sinsin=3coscosBABA即tan3tanBA。（2）∵5cos05CC，，∴2525sin1=55C。∴tan2C。∴tan2AB，即tan2AB。∴tantan21tantanABAB。由（1），得24tan213tanAA，解得1tan=1tan=3AA，。∵cos0A，∴tan=1A。∴=4A。5、在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=3，b=2，12cos()0BC，求边BC上的高.【解】∵在ABC中,coscosBCA,12cos()12cos0,BCA3A.在ABC中,根据正弦定理,sinsinabAB,sin2sin2bABa.5,,412abBCAB.212362sinsinsincoscossin22224CBABABABC边上的高为6231sin242bC.6、设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知11,2,cos4abC（I）求ABC的周长；（II）求cos()AC的值。解：（Ⅰ）22212cos14444cababC2.cABC的周长为1225.abc（Ⅱ）221115cos,sin1cos1().444CCC15sin154sin28aCAc,acAC，故A为锐角，22157cos1sin1().88AA71151511cos()coscossinsin.848816ACACAC-5-7、在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求3sinA-cos（B+4）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。解析：（I）由正弦定理得sinsinsincos.CAAC因为0,A所以sin0.sincos.cos0,tan1,4ACCCCC从而又所以则（II）由（I）知3.4BA于是3sincos()3sincos()43sincos2sin().63110,,,,46612623ABAAAAAAAAA从而当即时2sin()6A取最大值2．综上所述，3sincos()4AB的最大值为2，此时5,.312AB8、在△ABC中，角A、B、C所对应的边为cba,,（1）若,cos2)6sin(AA求A的值；（2）若cbA3,31cos，求Csin的值.解析：（1）sin()2cos,sin3cos,63AAAAA（2）22221cos,3,2cos8,223AbcabcbcAcac由正弦定理得：22sinsinccAC，而222sin1cos,3AA1sin3C。9、在ABC中，CBA,,的对边分别是cba,,，已知CbBcAacoscoscos3.（1）求Acos的值；(2)若332coscos,1CBa，求边c的值．解：（1）由CbBcAacoscoscos3正弦定理得：)sin(cossincossincossin3CBCBBCAA及：AAAsincossin3所以31cosA。（2）由332coscosCB332cos)cos(CCA展开易得：36sin3sin2cosCCC-6-正弦定理：23sinsincCcAa10、△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=2a．（I）求ba；（II）若c2=b2+3a2，求B．解：（I）由正弦定理得，22sinsincos2sinABAA，即22sin(sincos)2sinBAAA故sin2sin,2.bBAa所以（II）由余弦定理和222(13)3,cos.2acbaBc得由（I）知222,ba故22(23).ca可得212cos,cos0,cos,4522BBBB又故所以11、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知sincsin2sinsinaACaCbB.(Ⅰ)求B；（Ⅱ）若075,2,Abac求，.【解析】(I)由正弦定理得2222acacb…由余弦定理得2222cosbacacB.故2cos2B，因此45B（II）sinsin(3045)Asin30cos45cos30sin45264故sin2613sin2AabBsinsin6026sinsin45CcbB.12、在△ABC中，内角A，B，C所对的分别是a,b，c。已知a=2.c=2,cosA=2-4.（I）求sinC和b的值；（II）求cos（2A+3д）的值。-7-13、如图1，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．（1）求渔船甲的速度；（2）求sin的值．解：（1）依题意，120BAC，12AB，10220AC，BCA．在△ABC中，由余弦定理，得2222cosBCABACABACBAC……………………4分22122021220cos120784．解得28BC．………………………………………………………6分所以渔船甲的速度为142BC海里/小时．答：渔船甲的速度为14海里/小时．…………………………………7分（2）方法1：在△ABC中，因为12AB，120BAC，28BC，BCA，由正弦定理，得sinsin120ABBC．即312sin120332sin2814ABBC．答：sin的值为3314．方法2：在△ABC中，因为12AB，20AC，28BC，BCA，60ABC东南西北-8-由余弦定理，得222cos2ACBCABACBC．即22220281213cos2202814．因为为锐角，所以2213sin1cos1143314．答：sin的值为3314．60ABC东南西北