解三角形课件!

解三角形知识点梳理;sin2,sin2sin2(1)CRcBRbARa，;2sin,2sinB,2sin).3(RcCRbRaA;sin:sin:sin::).2(CBAcba;sinsin,sinsin,sinsin).4(AaCcCcBbBbAa)(2sinsinsin外接圆的半径为其中ABCRRCcBbAa1.正弦定理正弦定理的变形：.2acosC;2cosB;2cos222222222abcbacbcabcacbACabbacBcaacbAbccbacos2cos2cos22222222222.余弦定理余弦定理的变形：222222222;;90baccabcbaCBA化为时，上面的关系式分别分别为、、当3.三角形面积公式)(21)1(边上的高表示ahahSaaAbcBacCabSsin21sin21sin21)2(RabcS4)4())((21)3(为内切圆半径rcbarS4.三角形中的常见结论CBA)1(2cot2tan;2sin2cos;2cos2sin;tan)tan(;cos)cos(;sin)sin(CBACBACBACBACBACBA(2)在三角形中大边对大角，大角对大边.(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)有关三角形内角的三角函数式CBACBAABCtantantantantantan)5(中，在.sinsin)8(BAbaBAABC中，在是三角形的内角则有、若或sinsin)9((6)中，A、B、C成等差数列的充要条件是B=60ABC(7)为正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列.ABC解三角形正余弦推论的应用三角形解的个数的确定求三角形中基本量判断三角形形状解三角形的实际应用求角求边求面积测量距离测量高度测量角度解三角形中的交汇问题一、正余弦定理推论的应用).(sinsinsin,2,1,41cos.1CBAcbacbAABC则中，已知在例15158sinsinsinsin415cos1sin2cos2222AaCBAcbaAAAbccba解：由余弦定理得）的取值范围是（则中，已知在例,2:)1(:sin:sin:sin.2kkkkCBAABC),21(21211221212:)1(:sin:sin:sin::范围是之差小于第三边解得由两边解得与第三边得大又根据三角形两边之和解：有正弦定理得kkkkkkkkkkkkkkkCBAcba),21(范围是的取值则最大边中，钝角例,2,1.3cbaABC3535045452cos22222cccbaccCcabcbaC是最大角钝角解：由余弦定理得35c二、三角形解的个数的确定已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a、B、C)正弦由A+B+C=180求出角A；根据正弦定理求出b与c;在有解时只有一解两边和夹角(如a、b、C)余弦正弦由余弦定理求出c；由正弦定理求出A、B；在有解时只有一解三边(a、b、c)余弦定理由余弦定理分别求出A、B；由内角和是180求出C;有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a、b、A)正弦定理由正弦定理求出B；由内角和为180求出C；由正弦定理求出c;可有两解，一解或无解解斜三角形有下表所示的四种情况：在已知a、b、A时判断三角形解的个数有三种方法：（2）用正弦定理确定另一边的对角（1）几何作图法（3）利用余弦定理整理后是以c为未知数的一元二次方程。因为c是三角形的边长，必有c0。所以，所给定的三角形的解就取决于满足方程的未知数c正实数值得存在情况在三角形中，已知a、b和A时解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinAa=bsinAbsinAabab或a=babab或a=b解个数无解一个解两个解一个解一个解无解150,20,183;30,22,112;45,32,221AbaAbaAba）（）（）（例4.根据下列条件，判定三角形解的情况.解法一：（几何作图法）分别如下图①、②、③ABa=11ACb=22b=20cABD无解有一解有两解解法二：ABCAABCABC150)3(212211)2(6223222)1(c有两解解得解法三ABCcccccAbccba26.046245cos3223222)1(cos2:2222222有一解解得ABCccccc311.036332230cos2222211)2(2222无解解得ABCccccc0114310114310.076320150cos2022081)3(22226340.634.6.340.,,34,60.5aaDaaCaBaAabAABC或或）满足的条件是（一个解为使此三角形只有中，已知例c点评：可通过正弦定理或几何作图很容易看出三角形有一个解的情况有两种。这些有些同学容易出现误区，直接令关于C的一元二次方程有一解，很容易少考虑ab的情况，以后做题时要注意。三、求三角形基本量求三角形基本量包括求三角形的内角、求三角形的边、求三角形的面积这三类。在求基本量时运用正余弦定理以及它们的推论利用已知条件进行边角互化后求出未知量。在进行求解过程中往往会与三角恒等变换知识结合，同时要注意在解出结果后运用第二部分所讲的三角形解的个数的判定来对结果进行取舍，得到最终结果。.,32,4,21.6AhBCbcCBAcbaABC求角边上高且所对的边，又、、分别为角、、中，在锐角三角形例52323BCaCDBDACDABD定理可得中，分别由勾股和解：在BCADbch1421arccos1421214254)21(2cos222222AbcacbA法一：由余弦定理得求三角形的角1475arcsin1475sinsinsinsin323432sinAcCaACcAaCACADCACD由正弦定理中在法二：1475arcsin1475sin35sin212sin212sin21S353252121AAAAAbcahS又法三：由三角形的面积.,45,2,3.7cBbaABC求边中，已知在例22645sin15sin2sinsin1512022645sin75sin2sinsin756012060,,23245sin3sinsinsinsin)(BCbcCABCbcCAAABabbBaABbAa时，当时，当或又用正弦定理解：方法一求三角形的边点评：此类问题求解需要主要解的个数的讨论，比较上述两种解法，解法二比较简便。22601645cos3232cos222222ccccBaccab解之，得即用余弦定理方法二求三角形的面积.63,31cos,3tan.8的面积求，中，已知在例ABCACCBABC3826sin213263322213123sincoscossin)sin(sin82332263sinsin322cos1sin21cos,23sin60,3tan2AbcSCBCBCBABCbcCCBBBBbacCABCABABC由正弦定理得又，得、、的长分别为、、解：设的面积最大值？为多少时则当为坐标原点，中，在例OABBAOABC],2,0(),1,(sin),cos,1(.9212)2sin211(21)cossin1(21cossin2121cossincossin-121)sin1)(cos1(21sin21cos211)(达到最大，最大值为时当）（解：OBCOBCABMOBDOACABMABMOBDOACOCEDABMOBDOACOCMDOBCSSSSSSSSSSSSSSS)1,(sinBOD(0,1)C(1,0)XYM)cos,1(A四、判断三角形形状判定三角形形状通常有两种途径：化边为角；化角为边具体有如下四种方法：①通过正弦定理实施边角转换；②通过余弦定理实施边角转换；③通过三角变换找出角之间的关系；④通过三角函数符号的判断及正余弦函数有界性的讨论主要题型已知边之间的关系已知角的三角函数关系已知边与角的关系形状。试判断，中，若在例ABCcabBABC,260.10为正三角形故展开，整理得：代入上式，得则由正弦定理，得解法一ABCACCCCCCCCACABCAB60,6090301)30sin(1cos21sin23sin)120sin(60sin2120120,60sinsinsin2:已知边之间的关系为正三角形从而整理，得由余弦定理，得解法二ABCcbacacaaccacacabBBaccab060cos222,60cos2:2222222总结：解法一是用正弦定理将边关系转化成角的关系，运用三角变换找出角之间的关系；解法二用余弦定理直接运用边的关系判断形状；已知角的三角函数的关系＿＿＿三角形为则中，已知在例,2coscossin.112ABCACBABC等腰是等腰三角形即由①、②得②又①）（得解：由ABCCBCBCBCBCBCBCBCBCBCBACBAACBACB1)cos(1sinsincoscossinsincoscos)cos(cos-1sinsin2)cos(cos)(1802cos1sinsin,2cossinsin2例12.根据所给条件，判断的形状ABCBbAacoscos)1(CcBbAacoscoscos)2(解：角形是等腰三角形或直角三或即或者法一：根据正弦定理有ABCBABABABABABBAABbAaBbAa2180)(2222sin2sincossincossincoscossinsin)1(已知边与角之间的关系角形是等腰三角形或直角三或或法二：由余弦定理得ABCbacbabacbabacbabcbacaacbcabbcacbaBbAa000))((0)2()2(coscos2222222222222422422222222为等边三角形、、由正弦定理得法一：ABCCBACBACBACCBBAA),0(tantantancossincossincossin)2(总结：根据已知条件，适当选取适用的定理，进行边角互化结合三角变换找出三边之间的关系或者是找出内角之间的关系来判断形状。是等边三角形法二：由余弦定理得ABCcbacbacbabcaacbcbaabcbcaacbacbbca)2()2()2(222222222222222222222五、解三角形中的交汇问题在知识交汇处命题是高考考查的热点，体现了多考一点“想”，少考一点“算”的理念，所以挖掘知识内的交汇是学习中的重点。解三角形与其它知识的交汇体现与向量、三角函数、三角变换、数列、、解析几何、立体几何等几个方面知识的结合。.,36,6)2((1).13)