线性代数3.3 惯性定理及定性分类

3.3惯性定理及定性分类一、用坐标变换法化简二次型1TnbPAPb12,tPPPP令12(),TTtPPPPTPAPtTTTtPPAPPPP2112为同类初等阵与TiiPP为初等阵其中iP对角阵同类初等列变换可得到实施一初等行变换及一即对A利用可逆变换化二次型为标准型，就是要寻找可逆阵P，使得(,)AE对(A,E)行变换对A相应列变换(,)TP222123121323123(1),,44282fxxxxxxxxxxxx例：用一个坐标变换把下列二次型化为标准型：123121323(2),,2fxxxxxxxxx定理（惯性定理）一个二次型的任意两个标准形中的正系数的个数与负系数的个数分别相等.定义在二次型f(x)=xTAx的标准形中，正、负系数的个数p、q称为二次型的正、负惯性指数，也称为实对称矩阵A的正、负惯性指数.AxxxfT)(p正惯性指数的正特征值个数Aq负惯性指数的负特征值个数Ap+q=r的秩f的非零特征值个数A)(Ar二、惯性定理及规范形则、为的正、负惯性指数分别设,)(qpAxxxfT可化为标准型经可逆线性变换,Cyx22112211rrppppydydydydidir0,1,,,其中rpq.再作“伸缩变换”其中,Szy11111rddSrn01||1rddS22112211rrppppydydydyd.实二次型的规范形唯一化为则二次型)(xf221221rppzzzz的规范形，上式称为)(xf其矩阵为)0,,0,1,,1,1,,1(diagpqrn.)(的规范形的矩阵也称为Axfn元实二次型(或n阶实对称矩阵)的规范形与其正、负惯性指数互相唯一确定.O1111秩和正惯性指数分别相等。两个n阶实对称矩阵合同合同，其中+1和-1的个数共有r(A)个。任一实对称矩阵A与对角阵注意：讨论例题3.18.844253231212321与秩并求其正、负惯性指数为规范形化二次型例,xxxxxxxxf)(),,(.2213232221321配方法xxxxxxxxxf)(2),,(.131232221321正交变换xxxxxxxxf)(84164),,(.332212321321初等变换法xxxxxxxxxf:数和秩，指出其正、负惯性指化下列二次型为标准型定义三、实二次型及实对称矩阵的定性分类,)(元实二次型为设nxAxxfT有，如果对于任意的,xRxn0)0(0)(AxxxfT)(xf则称).()(负定为正定或A总有若对于任意的,Rxn)0(0)(xf)(xf则称.)()(半负定半正定或A使得若存在,Ry,xn0000000AyyAxxTT)(xf则称.)(不定或A正定二次型),,(1nxxf,xxn不全为零时,,10),,(1nxxf,xxfn0),,(1,xxn时当且仅当01.等号成立任意2221212122),(xxxxxxf22221)(xxx正定222121212),(xxxxxxf221)(xx半正定2322213212),,(xxxxxxf不定23222132142),,(xxxxxxf正定22213212),,(xxxxxf半正定22111),,(nnnxdxdxxf正定),1(0nidi),,2,1(021niddddAin正定fxxxxxxxxxxx22212341241224(,,,)256fxxxxxxxxxx2221231231223(,,)2524正定不定结论：标准形更易判定)(阶实对称矩阵元二次型nn正定半正定负定半负定不定_定理:满秩线性变换不改变二次型的正定性。)(惯性指数判别法定理的正、负惯性指数和秩元二次型设AxxxfnT)()(,,,Afrqp或则分别为正定，半正定，负定，半负定和的充要条件依次为：不定,np,rp,nqrq和.0rp正定阶实对称矩阵或元实二次型设AnAxxxfnT)(npf的正惯性指数nf的个数为的任一标准形中正系数的规范形为f221nzz的特征值全为正AI.~A.,PPAPT使存在可逆阵例6:定判定下列二次型是否正222123123121323(,,)410224fxxxxxxxxxxxx例7：设A是正定矩阵，则其主对角线元素全为正。注意：逆命题不成立。关于和形式的矩阵AATTAATTAAAA,mnnmAr)(AATTAAmn),min()(mnrArAATTAA分别为m阶和n阶半正定矩阵。和，则矩阵，且3.若A为为n阶半正定矩阵。正定矩阵，为m阶，则矩阵，且2.若A为为正定矩阵。1.若A为n阶可逆矩阵，则例8：nnijnnnnnnaaaaaaAaaaa111212122212()(1,,)kn111kkkikkaaaa为A的k阶顺序主子式.已知定理正定的充分必要条件为实对称矩阵A).,,1(0niAi的各阶顺序主子式例9:定判定下列二次型是否正32312123222132148455),,(xxxxxxxxxxxxf.3010112是正定的取何值时，实对称矩阵ttAt例10解,02||1A,0212||22tttA0533010112||||23tttAA解不等式组0530222tt315315t正定矩阵的性质：(1)A正定|A|0，即A可逆.(2)A正定A的主对角线上的元素aii0.(3)A正定kA(k0),A–1,A*,Am均正定.(4)A正定,B半正定A+B正定.(5)A正定-A负定.