线性代数教材

第1章行列式1.1二阶与三阶行列式1.2逆序与对换1.4行列式的性质1.3阶行列式的定义1.5行列式按行（列）展开1.6克莱姆法则n1.1二阶与三阶行列式对于二元一次方程组1.1.1二阶行列式,,22221211212111bxaxabxaxa定义二阶行列式2112221122211211aaaaaaaaD则当022211211aaaaD时上述二元一次方程组有唯一解,并且通过带入消元法方程组的解为,,211222112111122211222111222211aaaaababxaaaaababx即可用二阶行列式表示为222112112221211aaaaababx222112112211112aaaababax例1解二元一次方程组121221,34,xxxx解：177132114211x177132143112x1.1.2三阶行列式定义三阶行列式为:333231232221131211aaaaaaaaaD112233122331132132112332122133132231aaaaaaaaaaaaaaaaaa则三元一次方程组111122133121122223323113223333,,,axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb当0333231232221131211aaaaaaaaaD时方程组的解可用三阶行列式表示为3332312322211312113332323222131211aaaaaaaaaaabaabaabx3332312322211312113333123221131112aaaaaaaaaabaabaabax3332312322211312113323122221112113aaaaaaaaabaabaabaax例2计算行列式112021113D解:11202111312311(1)20111110322(1)8D1.2逆序与对换1.2.1排列与逆序自然数1,2,n组成的有序数组称为一个n元排列,记为nppp21规定按从小到大的顺序排列的叫做标准排列（自然排列）.即排列123n为标准排列.nppp21定义1在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.排列.的逆序数记为)(21nppp.计算排列逆序数的方法:对于排列nppp21,其逆序数为每个元素的逆序数之和.即对于排列nppp21中元素(1,2,)ipin，如果比ip大且排在ip前面的元素有it个，就说ip的逆序数为,it全体元素的逆序数之和为121nniittttt即)(21nppp1niit例3求排列536214,的逆序数.解:在排列536214,中(536214)01034210定义2逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列.1.2.2对换定义3把一个排列中某两个数的位置互换而其余的数不动就得到另一个排列,这样一个变换称为一个对换.对换改变排列的奇偶性.将一个奇排列变成标准排列需要奇数次对换,将一个偶排列变成标准排列需要偶数次对换.15423,是偶排列；522100)15423(15423,是奇排列.1.3阶行列式的定义定义4由nn个数组成数表nnnnnnaaaaaaaaa212222111211从中选取处在不同行不同列的n个元素相乘npppaaa11121,其中nppp21为n,2,1的一个全排列,并冠以符号)(21)1(nppp,则称和nnnpppppppppaaa111)(212121)1(为阶行列式,记作nnnnnnnaaaaaaaaaD212222111211n或简记为det(),(,1,2,)ijDaijn,其中ija表示处在第ij行,第列位置的元素.例4计算行列式.2211nnaaa其中未写出部分全为零.解：在行列式的展开式中共有!n个乘积1212nppnpaaa,显然如果11p则11pa必为零,从而这个项也必为零,因此只须考虑11p的项.同理只须考虑npppn,,3,232,也即行列式的展开式中只有nnaaa2211(其他的项乘积均为零),而0)12(n因而其符号为正.因此.22112211nnnnaaaaaa定义5对角线以上（下）的元素全为零的行列式称为下（上）三角行列式.由例4还可得出关于上、下三角行列式的如下结论:.221122211211nnnnnnaaaaaaaaa.221121222111nnnnnnaaaaaaaaa例5计算行列式1(1)2,1212,111(1).nnnnnnnnaaaaaa解:在行列式的展开式中共有!n个乘积1212nppnpaaa显然如果1pn则11pa必为零,从而这个项也必为零,因此只须考虑1pn的项.同理只须考虑231,2,,1npnpnp,也即行列式的展开式中只有1,2,1,1nnnaaa(其他的项乘积均为零),而(1)((1)21)012(1)2nnnnn(1)2(1)nn，因此.)1(1,1,2,12)1(1,1,2,1nnnnnnnnaaaaaa由例5还可得出下三角行列式的如下结论：.)1(1,1,2,12)1(1,1,221,111nnnnnnnnaaaaaaaa因而其符号为.)1(1,1,2,12)1(1,1,21,2,1nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaa以上各种形式是计算行列式的常用形式,应该对这几种形式加以注意并加强对它们的理解和应用.行列式的计算是一个重要的问题,也是一个很麻烦的问题.对于n阶行列式,当n很大时直接从行列式的定义进行行列式的计算几乎是不可能的.为此有必要对行列式的性质进行研究,从而简化行列式的计算.记111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa112111222212nnTnnnnaaaaaaDaaaTD为行列式D的转置行列式.1.4行列式的性质称行列式性质1行列式与其转置行列式相等,即nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaD212221212111212222111211性质2互换行列式的两行(列)元素,则行列式变号.推论1若行列式中某两行元素对应相等,则行列式的值为零.性质3行列式某行元素都乘以数k等于用k乘以行列式,即nnnniniinnnnniniinaaaaaaaaakaaakakakaaaa212111211212111211推论2由性质3知若行列式中某行(列)元素含有公因数k可以将数k提到行列式外.,则推论3若行列式的某两行(列)元素对应成比例,则此行列式的性质4若行列式的某一行(列)是两组数之和,则这个行列式可值为零.以写成两个行列式的和,即nnnniniinnnnniniinnnnnininiiiinaaabbbaaaaaaaaaaaaaaabababaaaa21211121121211121121221111211此性质可以推广到某一行元素为多组数之和的形式.k倍加到另外一行(列)的对应元素上去,行列式的值不变.即11121111211122121111111212nnijijinjniiinjjjjjjnnnnnnnnaaaaaaakaakaakaaaaaaaaaaaaaaaa性质5把行列式中某行(列)元素的D的值,其中3402243001325231D解:3402243001325231D214122132503510034206813rrrr42322132503510001120027rrrr4221325035100011200017rr5117)1()3(1例6计算行列式例7计算行列式D的值,其中2111121111211112D解法一:分别将行列式的第二行、第三行、第四行加到第一行得12342111555511111211121112115112111211121111211121112rrrrD213141111101005500100001rrrrrr213142412111211121112121101010101112100110011211101130014rrrrrrrrD4311120101500110005rr例8计算行列式D的值,其中解法二:利用行列式的性质将行列式的第一行和第四行互换可得1241132121320562D21312124112411321056202132035005620562rrrrDD的值,其中2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)aaaabbbbDccccdddd解:例9计算行列式(1)加到后一列上去得2222212325212325212325212325aaaabbbbDccccdddd再将第三列乘以加到第四列上去，第二列乘以(1)(1)第三列上去得22222122212221222122aabbDccdd性质可得.0D解:把前一列乘以加到由于此时行列式的第三列和第四列相等，因此由行列式的ijM定义6在n阶行列式nD中划去元素ija所在的第i行和第j列的元素,剩下的(1)(1)nn1n阶的行列式,称为元素ija的余子式,ijM.对冠以符号ji)1(后称为元素的代ija数余子式,记为ijA,即ijjiijMA)1(1.5.1余子式与代数余子式1.5行列式按行（列）展开个元素按原来的排法构成一个记作引理设D是一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除ija外都为零，那么这个行列式的值等于ija乘以它的代数ijA，即余子式ijijDaA积之和,即ininiiiiAaAaAaD2211),2,1(ninjnjjjjjAaAaAaD2211),2,1(nj这个定理称为行列式按行(列)展开法则．1.5.2行列式按行（列）展开定理1行列式的值等于其某行（列）元素与其代数余子式乘3112513420111533D例10算行列式D的值,其中解：1343233311251115115134111311(1)11112011001055015335530ccccD2113511626201(1)(6)(5)2(5)4055550rr例11计算行列式D的值，其中ababDbabaabab解：21311111002()2()ccccabbabaabbaababababba22()2()[()]aabababababba222()()abaabb123222222rrrabababababDbabababaababababD为2111241310213111D求24222132AAA的值.解:24222132AAA为行列式21112413103231111D按第二行