线性代数特征值一

1.特征值与特征向量的概念与计算2.特征值与特征向量的性质§5.1矩阵的特征值与特征向量定义5.1.1设A是n阶复(实)矩阵,若为复(实)数,0是一复(实)n维向量,使得A(0)，则称为A的特征值,为A的属于的特征向量.1只有方阵才有特征值和特征向量;2特征向量是非零向量.说明：1.特征值与特征向量的概念与计算定义5.1.2设A是n阶矩阵,的多项式IA称为A的特征多项式,并记为fAIA.fAIA=0称为A的特征方程,特征方程的根即为A的特征值.IA称为A的特征矩阵。求矩阵特征值与特征向量的步骤：;.1AIA的特征多项式计算;,,,,0.221的全部特征值就是的全部根求特征方程AAIn.,0,.3的线性无关的特征向量就是对应于的基础解系求齐次方程组对于特征值iiixAI定义对方程fx0,若有x*使得fx*0,则称x*为方程fx0的根或函数fx的零点.特别是,如果函数fx能写成fxxx*mgx且gx*0,m1,则称x*为fx0的m重根,或为fx0的m重零点.一重根m1通常称为单根.例1设,314020112A求A的特征值与特征向量．解314020112AI22)1(.2,1321（二重）的特征值为得A由解方程时当.0,11xAI,000010101414030111AI,1011得基础解系.111的线性无关的特征向量为对应于故。由解方程时当02,232xAI,0000001141140001142AI得基础解系为：,401,04132.2,232的线性无关的特征向量为对应于所以例2.201034011的特征值和特征向量求矩阵A解,)1)(2(2010340112AIA的特征多项式为.1,2321（二重）的特征值为所以A.0)2(,21xAI解方程时当0010140132AI由,1001得基础解系.211的线性无关的特征向量是对应于所以,0)(,132xAI解方程时当,000210101101024012AI,000010001,1212得基础解系.1322的线性无关的特征向量是对应于所以例3证明：若是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则m必为Am的特征值，这里m为正整数.证明A111mmmmAAAAAmmA.,征向量的特对应于是且的特征值是矩阵故mmmmAAmmmmAAAA2222比例3更一般的结论：若是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，gx=asxs+as1xs1+…+a1x+a0为任一多项式，试用特征值定义证明：g是矩阵多项式gA=asAs+as1As1+…+a1A+a0I的特征值，仍是gA的属于g的特征向量。例4设A是n阶方阵，其特征多项式为,AIfA.的特征多项式求AT解AIfTATTAIAIAf说明:有相同的特征值。和TAA但特征向量不一定相同。特别地:对角矩阵nnaaa0000002211它们的特征值均为主对角元a11,a22,,ann.nnnnaaaaaa00022211211nnnnaaaaaa21222111000三角形矩阵2.特征值与特征向量的性质,)1(...)()(1AAtraceAIfnnnA性质1设Aaij是n阶矩阵，则.)(1的迹称为其中AatrAAtraceniii.)()(),...,2,1(,)...()()()()()(12121特征值重的是也称重数，代数的为特征值异特征值，称的互的互异零点，即是是其中可作因式分解：理知，在复数域上本定次多项式，由代数学基为的阶矩阵因iiiiAikiinknnAAAnAnAfkinnffnfAnk性质2n阶矩阵设A有且仅有n个特征值,其中m重特征值以m个计.性质3设1,2,,n为A的n个特征值(i未必互异),则niiniiAtrA113A不可逆A0A有零特征值.2A可逆A0A的特征值均非零;且若为可逆矩阵A的特征值,则1为A1的特征值.且AX0的基础解系即为属于零特征值的线性无关的特征向量.注:1可用此性质验证所求的特征值是否正确;.,,,,,,,,,4212121线性无关则，为与之对应的特征向量，的互异特征值是方阵设性质sssA.,,,,,,,111121211也线性无关则量线性无关的特征向的分别为属于的互异的特征值，是设推论sislsliiliis,,,,,,A.AV0)AI(,0000的特征子空间的属于为的解空间称齐次线性方程组的特征值是设定义xA.00零向量构成的集合上的特征向量的全体再添的属于是说明：AV定义称特征子空间V0的维数dimV0为0的几何重数.性质5设0为A的m重特征值,则dimV0m.即特征值的几何重数不超过其代数重数.特别地:m1时,dimV01.dimV0nr0IA0对应的线性无关的特征向量的个数注意特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，即有的特征向量的的属于特征值同时是如果设因为,,,2121AxxAxxAx21,xx21,021x,021由于,0x则.与定义矛盾一个特征值具有的特征向量不唯一；但一个特征向量不能属于不同的特征值．1.矩阵的对角化§5.2矩阵的对角化定义5.2.1设A,B为两个n阶矩阵.若有可逆矩阵P,使得P1APB.则称A与B相似，记作A～B.注：矩阵相似关系满足:(1)反身性:A～A;(2)对称性:若A～B则B～A;(3)传递性:若A～B,B～C,则A～C.的变成称为把可逆矩阵BAP相似变换矩阵。1.矩阵的对角化可逆QPPAQBrrBABA,1BArrBABAPPBA12A～BA与B均为n阶方阵.,,的特征值亦相同与从而项式相同的特征多与则相似与阶矩阵若BABABAn性质5.2.1证明相似与BAAPPPIPBI11PAIP1PAIP1.AIBAPPP1,使得可逆阵定义：如果矩阵A相似于对角矩阵,就称A可对角化.则有特征向量，若令应的线性无关的为与之对的特征值，是设,),,,(,,,,,,212121nnnPA.)(2.2.5个线性无关的特征向量有的充分必要条件是能对角化即与对角矩阵相似阶矩阵定理nAAAnP1APdiag1,2,,n.矩阵P称为将A对角化的变换矩阵,P的每一列是A的特征向量,而对角矩阵的主对角元恰为A的特征值.A的n个线性无关的特征向量1,2,,n所组成的矩阵就是变换矩阵P,但要注意1,2,,n的排列顺序必须与1,2,,n的排列顺序相对应..,,2,1,dimA,,,2,1,)()()(3.2.511kinVkifAniinknAik可对角化当且仅当则互异其中该特征值的重数，即若特征子空间的维数等于它的属于任一特征值的可对角化的充要条件是阶矩阵定理推论5.2.1如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A必可对角化，反之不一定成立。:是否可对角化判别A得出结论。并由定理是否都成立判别求出的特征值对于重数大于及重数的互异特征值求出3.2.5.dim)3()(dim.dim,1)2(.)1(iiiiinVAIranknVVnAiii163053064A设，A能否对角化？,P则求出相似变换矩阵例5.1为对角阵使APP解163053064AI212.2,1321的全部特征值为所以A若能对角化，得方程组代入将0121xAI063063063212121xxxxxx得基础解系即线性无关的特征向量为,0121.1002，为自由未知量3221,2xxxx1,0;0,13232xxxx令解系得方程组的基础代入将,023xAI.1,1,13T线性无关，由于321,,110101102,,321P令.2000100011APP则有所以可对角化。A注意,,,213P若令111012100.1APP则有000000211即矩阵P的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．矩阵可对角化的应用,1PPBA若Ak.1PBPk则1PBP1PBP1PBP1PBPk个,,1为对角矩阵使若可逆矩阵特别地APPP,1PPAkk则.1211PPPPAknkkkk见P82例5.2.3.,0det,2,0A3det:4的一个特征值求满足条件阶方阵设AAIAAIAT思考题思考题答案：6或34