线性代数证明题

《线性代数》证明题张小向东南大学数学系@seu.edu.cn版本:2007.12.10一.为什么要练习解决证明题培养严谨的逻辑思维能力。为什么要培养严谨的逻辑思维能力？为什么要竞争？竞争。生存。为什么要生存？本能。二.我们为什么觉得证明题难•不清楚题目所涉及的概念•不熟悉现存的有关结论•分不清条件的必要性与充分性•不善于组织语言•没有积累足够的经验•没有深入思考三.证明题的难度分类1.直接用定义、定理、性质、推论、公式条件结论定义/定理/性质/推论/公式检验例1.设e1=100…,e2=010…,…,en=001…,证明:(1)e1,e2,…,en线性无关.(2)任何一个n维向量都能由e1,e2,…,en线性表示.k1,k2,…,kn不存在不全为零的数k1e1+k2e2+…+knen=.使即k100…+0k20…+…+=00kn…,000…亦即k1k2kn…=,000…可见k1=k2=…=kn=0.证明:(1)所以e1,e2,…,en线性无关.不存在不全为零的数k1,k2,…,kn使k1e1+k2e2+…+knen=.这就是说若k1e1+k2e2+…+knen=,例1.设e1=100…,e2=010…,…,en=001…,证明:(1)e1,e2,…,en线性无关.(2)任何一个n维向量都能由e1,e2,…,en线性表示.a1a2an…=100…+010…+…+001…a1a2an证明:(2)因为=100…+010…+…+001…a1a2an…a1a2ana1a2an…都成立,对于任意的n维向量所以任何一个n维向量都能由e1,e2,…,en线性表示.证明:(2)对于任意的n维向量=(a1,a2,…,an)T,设=x1e1+x2e2+…+xnen,x100…+0x20…+…+00xn…,a1a2an…=由此可得x1=a1,x2=a2,…,xn=an.所以任何一个n维向量都能由e1,e2,…,en线性表示.这只是必要条件即经检验,=a1e1+a2e2+…+anen确实成立,三.证明题的难度分类1.直接用定义、定理、性质、推论、公式2.从结论往回推一步条件结论对接定义/定理/性质/推论/公式从条件往下推一步+例2.设1,2,3线性无关,证明1=1+2+3,2=2+3,3=3也线性无关.1,2,3线性无关1,2,3线性无关由k11+k22+k33=推出k1=k2=k3=0由l11+l22+l33=推出l1=l2=l3=0证明:若k11+k22+k33=,即k1(1+2+3)+k2(2+3)+k33=,亦即k11+(k1+k2)2+(k1+k2+k3)3=.又因为1,2,3线性无关,所以k1=k1+k2=k1+k2+k3=0.由此可得k1=k2=k3=0.这就是说,不存在不全为零的数k1,k2,k3使k11+k22+k33=.所以1,2,3线性无关.三.证明题的难度分类1.直接用定义、定理、性质、推论、公式2.从条件往下推一步+从结论往回推一步3.要走好几步而且有分岔,可能要讨论,归纳条件结论例3.设A,B,A+B都是可逆矩阵,证明A1+B1也是可逆矩阵.A,B,A+B可逆A1+B1可逆|A|,|B|,|A+B|0Ax=只有零解A,B,A+B满秩A,B,A+B与I相抵A的行(列)向量组线性无关…A1+B1的行(列)向量组线性无关…A1+B1与I相抵A1+B1满秩(A1+B1)x=只有零解|A1+B1|0注意到这几个矩阵都是方阵例3.设A,B,A+B都是可逆矩阵,证明A1+B1也是可逆矩阵.证明:因为A,B,A+B都是可逆矩阵,=|A1(BB1)+(A1A)B1|=|A1(BB1)+A1(AB1)|=|A1(BB1+AB1)|=|A1(B+A)B1|=|A1(A+B)B1|=|A1||A+B||B1|=|A|1|A+B||B|1|A1+B1|=|A1I+IB1|所以|A|,|B|,|A+B|都不为零.于是可得0.可见A1+B1是可逆矩阵.四.怎样提高解决证明题的能力学而不思则惘，思而不学则殆。——[春秋]《论语》敏而好学，不耻下问。千里之行始于足下。——[春秋]《老子》工欲善其事，必先利其器。四.怎样提高解决证明题的能力不积跬步无以至千里。——[战国]荀子:《劝学》锲而不舍，金石可镂。——[北宋]欧阳修:《卖油翁》无他，惟手熟尔。——[清]彭端淑:《为学》为之则难者亦易矣。五.爆炒证明题例4.已知三角形ABC中,点D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,求证:AD+BE+CF=.证明:因为D,E,F分别是BC,CA,AB的中点,CABF.D.E.所以BD=BC,12CE=CA,12AF=AB,12因而AD+BE+CF=(AB+BD)+(BC+CE)+(CA+AF)=(AB+BC+CA)32=.例5.设,为两个不共线的向量,AB=+2,BC=4,CD=53,证明:四边形ABCD是梯形.证明:因为AD=AB+BC+CD=82=2BC.万一AD=2BC=怎么办?小样儿,还想刁难我!看我怎么摆平你!例5.设,为两个不共线的向量,AB=+2,BC=4,CD=53,证明:四边形ABCD是梯形.证明:因为AD=AB+BC+CD=82=2BC.假若BC=,所以BC.即4=,则=4,这与“,个不共线”矛盾!因而AD=2BC0,故由AD=2BC可知AD与BC平行而且同方向.会不会出现.C.A.B.D即k1(+2)+k2(53)=,整理得(k15k2)+(2k13k2)=.所以k15k2=2k13k2=0.又因为,个不共线,由此可得k1=k2=0.这与“k1,k2不全为零”矛盾!此矛盾表明AB与CD不共线.综上所述,四边形ABCD必为梯形.假若AB与CD共线,则存在不全为零的数k1,k2使得k1AB+k2CD=,会不会出现.C.A.B.D故由AD=2BC可知AD与BC平行而且同方向.例6.设M是ABC的重心,O是ABC所在平面上的任意一点,证明:OM=(OA+OB+OC).13证明:要证OM=(OA+OB+OC),13只要证3OM=OA+OB+OC,即(OMOA)+(OMOB)+(OMOC)=,即AM+BM+CM=.故AM+BM+CM=…=.而AM=(AB+AC),13BM=(BA+BC),13CM=(CA+CB),13于是原命题得证.CABF.D.E.M.O.例7.设向量,,互不平行,且==,证明:++=.证明:因为(++)=++=++=.类似地,可以证明(++)=.假若++,则必与共线,可见++既与共线又与共线.但这与“,,互不平行”矛盾!此矛盾表明++=.注:本题条件“,,互不平行”可以换成“与不平行”.例8.若A,B都是n阶对称矩阵,且AB=BA,证明:AB也是对称矩阵.证明:因为A,B都是n阶对称矩阵,即AT=A,BT=B.(AB)T=BTAT=BA=AB.又因为AB=BA,所以这就是说AB也是对称矩阵.注:还可以证明:“若A,B,AB都是n阶对称矩阵,则AB=BA”.事实上,AB=(AB)T=BTAT=BA.例9.设A=证明:(方法一)用数学归纳法.略.,求证:当n2时,a100a100a.annan1an20annan100ann(n1)2An=(方法二)先用数学归纳法证明:若矩阵M,N满足MN=NM,则对于任意的正整数n,(M+N)n=Mn+CMn1N+CMn2N2+…+Nn.n12n若矩阵MN满足MN=NM,则对于任意的正整数n,(M+N)n=Mn+CMn1N+CMn2N2+…+Nn.n12n①当n=1时,(M+N)1=M1+N1成立.②若(M+N)k=Mk+CMk1N+CMk2N2+…+Nk,k12k由数学归纳法原理可知:=(Mk+CMk1N+CMk2N2+…+Nk)(M+N)k12k则(M+N)k+1=(M+N)k(M+N)=Mk+1+CMkN+CMk1N2+…+Nk+1.k+121k+1=Mk+1+CMk1NM+CMk2N2M+…+NkMk12k+MkN+CMk1N2+CMk2N3+…+Nk+1k12kMN=NM令M=a000a000a=aI,N=010001000,则A=a100a100a=M+N,因此当n2时,且MN=aN=NM,Mn=(aI)n=anI,N2=001000000,N3=000000000=N4=N5=…,An=(M+N)n=Mn+CMn1N+CMn2N2+…+Nnn12nan2In(n1)2an1InanIan000an000an例10.证明任何一个方阵都可以分解为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和.分析:设B是对称矩阵,C是反对称矩阵,A=B+C,则AT=(B+C)T=BT+CT=BC.因而A+AT=(B+C)+(BC)=2B,AAT=(B+C)(BC)=2C,由此可见B=(A+AT),12C=(AAT).12可以直接验证(A+AT)12(AAT)12是对称矩阵,是反对称矩阵.例10.证明任何一个方阵都可以分解为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和.证明:设A为任意方阵,令B=(A+AT),12C=(AAT),12(A+AT)T12则BT==(AT+A)12=B,(AAT)T12CT==(ATA)12=C,而且A=B+C,其中B是对称矩阵,C是反对称矩阵.例11.证明奇数阶反对称矩阵的行列式等于零.证明:设A为n阶反对称矩阵(n为奇数),则AT=A,于是|A|=|AT|=(1)n|A|=|A|=|A|,移项得2|A|=0,故|A|=0.ka11ka12…ka1nka21ka22…ka2nkan1kan2…kann………=kna11a12…a1na21a22…a2nan1an2…ann………例12.设A是n阶方阵,n2,求证|A*|=|A|n1.证明:分两种情况讨论:(1)当|A|=0时,|A*|=0,否则由|A*|0可知A*可逆,而AA*=|A|I=0I=O,于是A=AA*(A*)1=O(A*)1=O,由此可得A*=O,这与|A*|0矛盾!因此|A*|=0=|A|n1.例12.设A是n阶方阵,n2,求证|A*|=|A|n1.证明:分两种情况讨论:(2)当|A|0时,令|A|=a,于是a|A*|=|A||A*|由此可得|A*|=an1=|A|n1.则AA*=|A|I=aI,=|aI|=an.=|AA*|例13.设A是奇数阶方阵,且ATA=I,|A|0,证明:设A是n阶方阵(n为奇数),则求证IA不可逆.=|(ATI)A|=|ATI||A|=|(AI)T||A|=|AI||A||IA|=|ATAIA|=|(IA)||A|=(1)n|IA||A|=|IA||A|,移项得(1+|A|)|IA|=0.又因为|A|0,因而|IA|=0.故1+|A|1,所以IA不可逆.可换成|A|1例14.设A=IeeT,I是n阶单位阵,e是n维非零分析:(1)设e=列向量.求证:(1)A2=AeTe=1;(2)当eTe=1时,A不可逆.a1a2an…,则eT=(a1,a2,…,an),eeT=a1a2an…(a1,a2,…,an)………=O,a12a1a2…a1ana2a1a22…a2anana1ana2…an2eTe=(a1,a2,…,an)a1a2an…=a12+a22+…+an2.例14.设A=I