线性变换的特征值与特征向量

§1.7矩阵（或线性变换）的特征值与特征向量定义设A是数域F上的n阶矩阵，是一个数字，矩阵EA称为的特征矩阵，行列式11121n21222nnn1n2nnEAaaaaaaaaa称为A的特征多项式。n次代数方程00nEA称为A的特征方程，它的根称为A的特征根（或特征值），以A的特征根0代入方程0)(0XAE所得的非零解X，称为A的对应于0的特征向量。矩阵A的特征多项式在复数范围内有n个根，因此一个n阶方阵有n个特征根（重根应记及重数）。矩阵A的所有特征值的全体称为A的谱，并用A表示。定理相似矩阵有相同的特征多项式。推论1相似矩阵有相同的谱。推论2设是矩阵A的特征值所对应的特征向量，则1P是矩阵1BPAP的特征值所对应的特征向量。线性变换的特征值和特征向量定义设f是数域F上的线性空间V的一个线性变换，如果对于数域F中任一元素0，V中都存在一个非零向量，使得0f那么称0为f的一个特征值，而称为f的属于特征值0的一个特征向量。现在设V是数域F上的n维线性空间，V中取定一个基12,,,n，设线性变换f在这组基下的矩阵是A，向量在这组基下的坐标是X，0F。那么我们有00()fAXX（1.8.1）由此可得定理：0是f的特征值0是A的特征值。是f的属于0的特征向量X是A的属于0的特征向量。设12,,naaa是n维线性空间V的一组基向量，线性变换A在这组基下的矩阵表示是A.若设0是A的一个特征值，它的一个特征向量在基12,,naaa下的坐标是12(,,)Tnxxx，即=（12,,naaa）124xxx（1.8.2）把（1.8.2）代入式（1.8.1）得12(,,)nAaaa124xxx=012(,,)naaa124xxx此即12(,,)naaaA124xxx=012(,,)naaa124xxx设12,,naaa线性无关A124xxx=0124xxx因此，只要将A的全部特征值求出来，它们就是线性变换f的全部特征值；只要将矩阵A的属于0的全部特征向量求出来，分别以它们为坐标的向量就是f的属于0的全部特征向量。例1设V是数域K上的3维线性空间，f是V上的一个线性变换，f在V的一个基123,,下的矩阵是222214241A求f的全部特征值与特征向量。解：A的特征多项式为222214241IA2(3)(6)所以A的特征值是3（二重）与-6。对于特征值3，解齐次线性方程组(3)0IAX得到一个基础解系：210,201TT从而f的属于3的极大线性无关特征向量组是1122132,2于是f的属于3的全部特征向量是112212,,kkkkK这里12,KK为数域K中不全为零的数对。对于特征值-6，解齐次线性方程组(6)0IAX得到一个基础解系：122T从而f的属于-6的极大线性无关特征向量组是312322于是f的属于-6的全部特征向量3,kkK这里k为数域K中任意非零数。矩阵的相似与相似对角化相似矩阵的性质：相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的迹，有相同的谱。矩阵的特征值与特征向量的性质：（1）n阶矩阵A的属于特征值0的全部特征向量再添上零向量，可以组成nR的一个子空间，称之为矩阵A的属于特征值0的特征子空间，记为0V，0dim()V称为0的几何重数。不难看出0V正是特征方程组0()0IAX的解空间。（2）属于不同特征值的特征向量是线性无关的。（3）设12,,,r是A的r个互不同的特征值，i的几何重数为iq，12,,,iiiiq是对应于i的iq个线性无关的特征向量，则的所有这些特征向量111121,,,q；221222,,,q；12,,,rrrrq仍然是线性无关的。（4）任意一个特征值的几何重数不大于它的代数重数。（5）一个特征向量不能属于不同的特征值。