公园道路设计

2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：J2035所属学校（请填写完整的全名）：西安财经学院参赛队员(打印并签名)：1.史亚峰2.马芳3.汪妮指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：向新银日期：2012年9月10日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1摘要西安某大学要求在校园内建立公园来美化环境，同时为大学生提供良好的学习氛围。公园内有8个入口，要求8个入口之间两两连通且任意两点之间的路程不大于其直接连线长的1.4倍，针对这个问题，本论文作出如下解决方案：问题一中题设给出4个固定的道路交点，结合8个入口，得出12个点的距离矩阵，利用克鲁斯卡尔算法绘制出最小生成树，根据题设的限制条件对其进行优化，最终求出最短路径为394.55米。问题二中没有具体给出道路交点，首先应r1的要求，8个入口中以任意两个入口为焦点，两入口直线距离的1.4倍为长轴长绘制椭圆，由多个椭圆的公共区域确定道路在公园内部的交点存在的范围，编写C++程序解出公园内道路交点分别为F1（60,78）、F2（173,44），最短路径和为358米。问题三在问题二的限制条件上加入新的限制条件，即在公园内部增设一个矩形湖。经分析可知，矩形湖的存在仅影响了P3、P4、P5三个入口之间的连通。构造函数，得到入口P5、P4、P3与矩形湖的交点坐标，求得最短路径和为342.72米。关键字：公园道路设计最短路径克鲁斯卡尔椭圆域2目录1.问题重述..................................................................................................................32.问题分析..................................................................................................................33.基本假设..................................................................................................................44.符号说明..................................................................................................................45.模型建立与求解......................................................................................................55.1给出固定交叉点的问题求解...........................................................................................55.1.1克鲁斯卡尔模型的建立.......................................................................................55.1.2用Matlab求最小生成树.....................................................................................55.1.3根据条件优化.......................................................................................................75.2没有固定交叉点的问题求解...........................................................................................85.2.1椭圆域模型建立...................................................................................................85.2.2交叉点的求解.......................................................................................................95.3增加湖后的问题求解.....................................................................................................116.模型评价................................................................................................................136.1模型的优点.....................................................................................................................136.2模型的缺点.....................................................................................................................137.模型推广................................................................................................................138.参考文献................................................................................................................149.附录........................................................................................................................1431.问题重述西安某大学为了美化校园，并为学生提供更好的生活学习环境，计划在校园内建设一个形状为矩形或其他不规则图形的公园。公园设计有若干入口，需要建立模型设计道路，使得任意两个入口相连总路程最小。设计过程中的限制条件为：任意的两个入口之间的最短道路长度不大于两点直接连线的1.4倍。如图1所示的长200米宽100米矩形框内，存在8个入口，p1（20,0），P2（50,0),P3（160,0），P4(200,50)，P5（120,100），P6（35,100），P8（0,25），需解决道路设计问题如下：问题一:题设要求公园内只有4个道路交叉点，分别为：A（50,75），B（40,40），C（120,40），D（115,70）。设计道路使公园内的道路总长最短，建立模型给出算法，画出道路设计，并计算新修道路的总路程。问题二：公园内可以任意修建道路，求在满足条件的同时使总路程最短的道路设计，建立模型并给出算法，得出道路交叉点的坐标，画出道路设计，计算新修道路的总路程。问题三：如图3所示，当公园内有一条矩形湖时（新修的道路不能通过，但可以到达湖四周的边），重复完成问题二的任务。矩形湖中各点坐标分别为：R1（140,70），R2（140,45），R3（165,45），R4（165,70）。注：以上问题都要求公园内新修的道路与四周的连接只能与8个路口联通，而不能连到四周的其他点。2.问题分析经分析发现该问题是一个在图论的基础上求最小距离的问题。距离最短是为了使修建公园工程费用最小。而公园内人类的活动方式不求路程最小。最主要考虑工程代价，次之考虑人类活动的路程。公园四周道路已建好，我们尽可能的利用这些道路以节约工程费用。但是这些路可使各点连通，考虑到建设公园的意义，我们不能将道路造价降到“0”。所4以我们必须在园内修建道路。针对该问题我们做出如下具体分析：问题一：公园内只有4个道路交叉点，且各个入口可以直接或间接到达。所以求最短距离时我们可将8个入口和4个交叉口结合形成一个12×12的矩阵，用Matlab求出各点到其他点的最短距离。根据所求得的最小距离绘制成图，依照所需满足的条件如：1.利用公园四周可节约费用2.园内不形成其他新的交叉点3.任意两点连通4.任意的两个入口之间的最短道路长度不大于两点直接连线的1.4倍。问题二：当没有确定的交叉点及交叉点数目时，我们应该围绕交叉点展开讨论，建立多少个交叉点合理？交叉点建在那里合理？这些问题就要求结合一系列的约束条件找到合理的交叉点坐标，绘制出设计图。根据限制条件对其进行优化，得出最终结果。问题三：利用第二问的结果找到受影响的点。要求道路可到达湖，且距离最短，所以湖边上一定存在一个点使得它们满足条件。所以我们可以将问题转化成求这个点坐标的问题。求出坐标后计算出总路程，总路程中应该包括绕湖边的路程和修建的路程，不包括利用公园四周边的道路。3.基本假设1、假设公园内任何地方都适合修路；2、假设所有点间的道路均修建为直线；3、交叉点的修建不影响道路总长。4.符号说明r1满足两点之间直接距离的1.4倍不大于连着两点之间总长度的条件5r2满足最短距离的条件S最短路径的矩阵D两点之间直接距离的1.4倍的矩阵Pi第i点Pj第j个点Vij第i点和第j点之间的路径长5.模型建立与求解5.1给出固定交叉点的问题求解5.1.1克鲁斯卡尔模型的建立题目中给出4个固定的交叉点，我们最终要达到的目的是设计出满足条件r1和r2的图，所以我们分为一下三步：第一步：我们要将点与点之间的坐标关系转化成线的连接关系，所以我们首先必须求出任意两点之间的距离。由于4个交叉点是固定且不能新增加交叉点，所以我们需要将8个入口和4个交叉点结合，用Matlab软件输入12个点坐标，求出一个12×12的距离矩阵。第二步：距离矩阵中的数据是一个点到其他11个点的距离，但是任何一点都会存在另外一点使得到达它的距离最短，所以在这一步中我们将要完成的是找到最短路径绘制出最小生成树，基于这一目的，我们根据第一步得到的距离矩阵采用克鲁斯卡尔（Kruskal）算法做出最小生成树。由于做出的是最小生成树，所以任意两点之间的距离就是最短距离，所以到这一步的设计是满足r2的。第三步：由于受到r1的限制且我们找到的最短路径中有可能存在不满足r1的路。所以我们