4-3 协方差与相关系数

一、协方差与相关系数的概念及性质二、相关系数的意义三、协方差矩阵第4.3节协方差及相关系数四、小结1.问题的提出那么相互独立和若随机变量,YX).()()(YDXDYXD不相互独立和若随机变量YX?)(YXD22)]([)()(YXEYXEYXD)]}.()][({[2)()(YEYXEXEYDXD一、协方差与相关系数的概念及性质协方差)]}.()][({[),ov(C),,Cov(.)]}()][({[,),(YEYXEXEYXYXYXYEYXEXEYX即记为的协方差与称为随机变量量是二维随机变量2.定义4.7.)()(),Cov(的相关系数与称为随机变量而YXYDXDYXρXY)]}()][({[),Cov(YEYXEXEYX)]([)]([YEYEXEXE.0相互独立和若随机变量YX)3()]}()][({[2)()()(YEYXEXEYDXDYXD).()(YDXD相互独立和若随机变量YX)2(),(Cov2)()(YXYDXD3.说明.,)1(个无量纲的量它是一协方差的相关系数又称为标准和YX4.协方差的计算公式);()()(),Cov()1(YEXEXYEYX).,Cov(2)()()()2(YXYDXDYXD证明)]}()][({[),Cov()1(YEYXEXEYX)]()()()([YEXEYXEXYEXYE).()()(YEXEXYE)()()()(2)(YEXEYEXEXYE})](){[()()2(2YXEYXEYXD})](())({[(2YEYXEXE)]}()][({[2YEYXEXE})]({[})]({[22YEYEXEXE).,Cov(2)()(YXYDXD5.协方差的性质);,Cov(),Cov()1(XYYX;,),Cov(),Cov()2(为常数baYXabbYaX).,Cov(),Cov(),Cov()3(2121YXYXYXX6.相关系数的性质.1)1(XYρ.1}{,,1)2(bXaYPbaρXY使存在常数的充要条件是证明]))([(min)1(2,bXaYEeba)()1(2YDρXY0012XYρ.1XYρ.),,,,,(~),(222121相关系数的与试求设YXρσσμμNYX解22222121212122212121121σμyσσμyμxρσμxρρσσyxp)())(()()(exp),(由,,)()(xeσxpσμxX21212121.,)()(yeσypσμyY22222221例1.)(,)(,)(,)(222121σYDσXDμYEμXEyxyxpμyμxYXdd),())((),Cov(21而xyeeμyμxρσσσμxρσμyρσμxdd))((1212112222121)1(212)(21221,1111222σμxρσμyρt令,11σμxuuteuσρσtuρσσYXtudd)1(21),Cov(2222122122teueuσρσtudd22222122tteueuρσσtudd212222122,22221σρσ.),Cov(21σρσYX故有.)()(),Cov(YDXDYXXY于是　　结论;,)1(的相关系数与代表了参数中二维正态分布密度函数　　　YXρ.)2(相互独立与等价于相关系数为零与二维正态随机变量　　　YXYX.23,21),4,0(),3,1(,22YXZρNNYXXY设分别服从　　已知随机变量??)3(.)2(.)1(为什么是否相互独立与问的相关系数与求的数学期望和方差求ZXZXZ解.16)(,0)(,9)(,1)()1(YDYEXDXE由)23()(YXEZE得　　)(21)(31YEXE.31例2)2,3Cov(2)2()3()(YXYDXDZD),Cov(31)(41)(91YXYDXD)()(31)(41)(91YDXDρYDXDXY.3241)()(21)(31YDXDρXDXY.033.0))()((),Cov(ZDXDZXρXY故:,)3(可知立两者是等价的结论关系数为零和相互独由二维正态随机变量相.是相互独立的与ZX)23,Cov(),Cov()2(YXXZX),Cov(21),Cov(31YXXX二、相关系数的意义1.相关系数的意义.Y,X,ρXY较密切的线性关系表明较大时当.,,线性相关的程度较差较小时当YXρXY.YX,0ρXY不相关和称时定义：当(1)不相关与相互独立的关系2.注意相互独立不相关(2)不相关的充要条件;0,1oXYρYX不相关;0),Cov(,2oYXYX不相关).()()(,3oYEXEXYEYX不相关.),(的关系相关系数的概率密度曲面与　　二维正态随机变量XYYX中心矩的二阶混合维随机变量　　设),,,(21nXXXn,,,2,1,)]()][({[),Cov(都存在njiXEXXEXEXXcjjiijiij则称矩阵nnnnnncccccccccC212222111211.协方差矩阵维随机变量的为n三、协方差矩阵的协方差矩阵为二维随机变量例如),(21XX22211211ccccC},)]({[21111XEXEc其中)]},()][({[221112XEXXEXEc)]},()][({[112221XEXXEXEc}.)]({[22222XEXEc.,),,2,1,(阵为对称的非负定矩阵所以协方差矩由于njiccjiij协方差矩阵的应用.,的研究差矩阵达到对随机变量从而可通过协方变量的概率密度随机协方差矩阵可用来表示推广,)()()(2121nnXEXEXEμμμμ.212222111211nnnnnncccccccccC,),,,(21TnxxxX其中示为的概率密度可表维随机变量),,,(21nXXXn),,,(nxxxp21.)()(21exp)(det)π2(11212μXCμXCTn四、小结协方差与相关系数的定义,)]}()][({[的协方差与称为随机变量量YXYEYXEXE),,(CovYX记为)]}()][({[),(CovYEYXEXEYX.)()(),(Cov关系数的相与为随机变量称YXYDXDYXXY).,(Cov),(Cov.1XYYX).,(Cov),(Cov.2YXabbYaX),(为常数ba).,(Cov),(Cov),(Cov.32121YXYXYXX协方差的性质相关系数的意义.Y,X,ρXY较密切的线性关系表明较大时　　当.,,线性相关的程度较差较小时当YXρXY.,0不相关YXρXY和称时当