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第一单元观察物体1.根据从不同角度看到的形状还原立体图形的方法：根据从三个不同方向看到的形状还原立体图形，先从一个方向看到的形状分析，推测可能出现的各种情况；再结合从其他两个方向看到的形状综合分析；最后确定立体图形。2.（请注意！）仅凭从一个角度看到的立体图形的形状，不能确定这个立体图形的唯一形状，更无法确定组成这个立体图形的小正方体的个数。3.从不同的角度观察物体，看到的形状可能是不同的；观察长方体或正方体时，从固定位置最多能看到三个面。4.知道一个方向的平面图，可以摆出多种立体图形。5.知道三个方向的平面图，只能摆出一种立体图形。第二单元因数与倍数一、因数和倍数因数、倍数的意义1.整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。在整数除法中，如果商是整数而没有余数，那么被除数就是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。整数与自然数的关系：整数包括自然数。2.因数、倍数：大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。例：12是6的倍数，6是12的因数。（1）字母表示：如果ɑ÷b＝c（ɑ，b，c是大于0的自然数），那么b，c是ɑ的因数，ɑ就是b、c的倍数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在，且在整数范围中讨论。（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。（3）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。找一个数的因数1.找一个数的因数的方法①列除法算式找。用此数分别除以大于等于1且小于等于它本身的所有整数，所得的商是整数且无余数，这些除数和商就是这个数的因数。②列乘法算式找。把这个数写成两个整数相乘的形式，算式中的每个整数都是这个数的因数。2.表示一个数的因数的方法：①列举法；②集合法。3.一个数的因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。找一个数的倍数1.找一个数的倍数的方法①列除法算式找，看到哪些非0自然数除以这个数商是整数且没有余数，这个数都是这个数的倍数。②列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。2.一个数的倍数的表示方法：①列举法；②集合法。3.一个数的倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。4.（请注意！）不要认为一个较大数的因数的个数就比一个较小数的倍数的个数多。一个数的因数的个数都是有限的，而一个数的倍数的个数却是无限的。5.（请注意！）在一定的范围内找一个数的倍数时，这个数的倍数的个数就是有限的，在表示时不用加省略号。二、2、5、3的倍数的特征2、5的倍数的特征1.个位上是0或5的数都是5的倍数。2.个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。3.在整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。最小的奇数是1，最小的偶数是0。3的倍数的特征1.一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。（请注意！）同时是2、5、3的倍数的特征：个位上是0且各位上的数的和是3的倍数。2.如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。3.能同时被2、3、5整除（也就是2、3、5的倍数）的最大的两位数是90，最小的三位数是120。同时满足2、3、5的倍数，实际是求2×3×5=30的倍数。三、质数和合数质数和合数1.一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。2.一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。3.1既不是质数，也不是合数。最小的质数是2，最小的合数是4。连续的两个质数是2、3。每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。（请注意！）质数中只有2是偶数，2是唯一的偶质数。除2外，其他质数都是奇数；但奇数不完全是质数。例如：9虽然是奇数，但它不是质数。（请注意！）偶数和合数之间有一定的联系：除2外，所有的偶数都是合数；但合数不完全是偶数。例如：45虽然是合数，但它不是偶数。制作100以内的质数表100以内的质数口诀2、3、5、7和11，13后面是17，19、23、29，（十九、二三、二十九）31、37、41，（三一、三七、四十一）43、47、53，（四三、四七、五十三）59、61、67，（五九、六一、六十七）71、73、79，（七一、七三、七十九）83、89、97。（八三、八九、九十七）1.制作100以内的质数表的方法：①根据质数、合数的意义直接找出100以内的质数，然后制成表格。②用“筛选法”先画去1，再画去10以内质数的所有倍数（它们本身除外），这样就能找出100以内的质数，然后制成表格。20以内的质数有8个：2、3、5、7、11、13、17、19100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97奇数和偶数的运算性质1.和差的奇偶性：奇数±奇数＝偶数；奇数±偶数＝奇数（大数减小数）；偶数±偶数＝偶数。2.积的奇偶性：奇数×奇数＝奇数；奇数×偶数＝偶数；偶数×偶数＝偶数。最大、最小A的最小因数是：1；最小的奇数是：1；A的最大因数是：A；最小的偶数是：0；A的最小倍数是：A；最小的质数是：2；最小的自然数是：0；最小的合数是：4；分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）。比如：30分解质因数是：（30=2×3×5）互质数：公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数。两个质数的互质数：5和7两个合数的互质数：8和9一质一合的互质数：7和8两数互质的特殊情况：①1和任何大于1的自然数互质。②2和任何奇数都是互质数。③相邻的两个自然数是互质数。④相邻的两个奇数互质。⑤不相同的两个质数互质。⑥当一个数是合数，另一个数是质数时（除了合数是质数的倍数情况下），一般情况下这两个数也都是互质数。第三单元长方体和正方体一、长方体和正方体的认识1.长方体的特征：长方体是由6个长方形（特殊情况下有2个相对的面是正方形）围成的立体图形；面和面相交的线段叫做棱，棱和棱的交点叫做顶点。一个长方形有6个面、8个顶点和12条棱；在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。2.长方体长、宽、高的含义：相交于一个顶点的三条棱长的长度分别叫做长方体的长、宽、高。长方体的12条棱中有4条长、4条宽、4条高。3.正方体的特征：正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。正方体有6个面、12条棱和8个顶点，6个面完全相同，12条棱的长度都相等。4.长方体和正方体的关系：正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。从面、棱、顶点三方面比较长方体和正方体的异同二、长方体和正方体的表面积1.长方体和正方体表面积的意义：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。2.长方体表面积的计算公式：立体图形相同点不同点面棱长方体都有6个面，12条棱，8个顶点。6个面都是长方形（有可能有两个相对的面是正方形），相对的面完全相同。相对的棱的长度都相等（每一组互相平行的4条棱的长度相等）。正方体6个面都是完全相同的正方形。12条棱的长度都相等。①长方体的表面积＝长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2②长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×23.长方体表面积的字母公式：①S＝2ɑb＋2ɑh＋2bh②S＝（ɑb＋ɑh＋bh）×2（注意：S表示长方体的表面积，ɑ、b、h分别表示长方体的长、宽、高）4.正方体表面积的计算公式：正方体的表面积＝棱长×棱长×65.正方体表面积的字母公式：S＝6ɑ2（注意：S表示正方体的表面积，a表示正方体的棱长）6.生活实际：油箱、罐头盒等都是6个面。游泳池、鱼缸等都只有5个面。水管、烟囱等都只有4个面。注意1：用刀分开物体时，每分一次增加两个面。（表面积相应增加）注意2：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。（如长、宽、高各扩大2倍，表面积就会扩大到原来的4倍）。三、长方体和正方体的体积体积和体积单位（1）1.体积的意义：物体所占空间的大小叫做物体的体积。2.体积单位：常用的体积单位有立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米（m3）。3.长方体的体积计算公式：长方体的体积＝长×宽×高。字母公式：V＝ɑ×b×h。（注意：V表示长方体的体积，ɑ表示长方体的长，b表示长方体的宽，h表示长方体的高）4.正方体的体积计算公式：正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。字母公式：V＝ɑ3。V=ɑ×ɑ×ɑ=ɑ3读作“ɑ的立方”表示3个ɑ相乘，（即ɑ·ɑ·ɑ）5.长方体（或正方体）的体积=底面积×高用字母表示：V=Sh（横截面积相当于底面积，长相当于高）。注意：一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等。体积和体积单位（2）1.长方体和正方体体积计算公式的应用：已知长方体的长、宽、高，可以直接利用长方体的体积公式计算出长方体的体积；已知正方体的棱长，可以直接利用正方体的体积公式计算出正方体的体积。2.长方体、正方体统一的体积计算公式长方体（或正方体）的体积＝底面积×高。字母公式：V＝Sh。（注意：V表示体积，S表示底面积，h表示高）3.长方体和正方体统一的体积计算公式的应用：根据公式V＝Sh，可推导出S＝V÷h，h＝V÷S，已知这三个量中的任意两个量，都可以求出第三个量。（请注意！）长方体的表面积－底面积×2＝4个侧面的面积和。4个侧面的面积和＝底面周长×高体积单位间的进率1.m3和dm3、dm3和cm3分别是相邻的体积单位，进率都是1000，即1m3＝1000dm3，1dm3＝1000cm3。长度单位、面积单位、体积单位的不同意义单位名称相邻两个单位间的进率长度单位表示物体长度的量m、dm、cm10面积单位计量物体面积大小的量m2、dm2、cm2100体积单位计量物体所占空间大小的量m3、dm3、cm310002.体积单位之间互化的方法：①由低级单位转化成高级单位，如果进率是10、100、1000……用低级单位的数除以进率，或把低级单位的数的小数点向左移动一位、两位、三位……②由高级单位转化成低级单位，如果进率是10、100、1000……用高级单位的数乘进率，或把高级单位的数的小数点向右移动一位、两位、三位……（请注意！）只有相邻的两个体积单位之间的几率才是1000，判断和互化时首先要看这两个单位是不是相邻的。容积和容积单位1.容积的意义：箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。计量容积，一般就用体积单位。计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升。2.容积的单位：升和毫升，分别用字母L和mL表示。3.1L＝1000mL1L＝1dm31mL＝1cm34.长方体或正方体容器容积的计算方法与体积的计算方法相同，但要从容器的里面测量长、宽、高。（所以，对于同一个物体，体积大于容积。）（请注意！）容积和体积的联系：①容积的大小可以通过容器所能容纳的物体的体积显示出来；②容积的计算方法与体积的计算方法相同。（请注意！）容积和体积的区别：①意义不同；②计算时，测量数据的方法不同；③有容积的物体一定有体积，但有体积的物体不一定有容积。（请注意！）物体的容积并不是物体的体积，体积是指物体自身所占空间的大小，容积是指物体所能容纳的物体的体积。（请注意！）长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。（如长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的8倍）。求不规则物体的体积1.求形状不规则的物体的体积可以用排水法，上升的那部分水的体积就是形状不规则的物体的体积。2.排水法的公式：V物体=V现在－V原来也可以：V物体=S×(h现在-h原来)V物体=S×h升高（请注意！）用排水法求形状不规则的物体的体积时，将物体放入水中后，明确水上升的高度才是解题关键。注意：长方体与正方体关系把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。第四单元分数的意义和性质一、分数的意义分数的产生和意义1.在测量、分物或计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常用分数来表示。2