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启未教育——扬帆启航，引领未来！★小升初衔接班暑期培优专用教材（数学）在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么.————达哥拉斯培优热线：1867332715913055129291152733953571第一讲数的扩充——有理数【学习目标】1、认识负数并会灵活运用。2、理解有理数的意义并会灵活运用。【知识要点】1．正数和负数为了表示具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量规定为正的，另一种与它的意义相反的量规定为负的，正的量用算术数前面加“+”号表示，如+6，133等，带有正号的数叫正数（正号可省略不写），负的数量用算术数前加“－”号表示，如－4，162等，带有负号的数叫负数。2．有理数正整数，0，负整数统称为整数，正分数，负分数统称分数，整数和分数统称有理数。3.有理数的分类：(1)正整数整数0负整数有理数正分数分数负分数(2)正有理数有理数零负有理数4、用正数和负数表示相反意义的量：可以主管规定哪种意义的量为正数，那么具有相反意义的量就必须为负数。5、零既不是正数也不是负数，它是正数、负数的分界。零时整数，也是偶数。非负数就是零和正数。【典型例题】例1、把下列各数填在相应的大括号里。－1，0，+0.8，－37，2.4，8848，134，227，80正数集合；负数集合；正整数集合；负整数集合；正分数集合；负分数集合；整数集合；有理数集合；例2、（1）如果把上升20m记作+20m，那么下降15m记作。（2）海平面的高度一般用数表示，比海平面高8848m的山峰处，它的高度记作海拔m，比海平面低11034m的海沟处，它的高度记作海拔m。（3）粮食产量增产12%，记作+12%，则减产8%记作。启未教育——扬帆启航，引领未来！★小升初衔接班暑期培优专用教材（数学）在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么.————达哥拉斯培优热线：1867332715913055129291152733953572例3、我会判：(1)零是正数（）(2)零是整数（）(3)不是正数的数一定是负数（）(4)零是偶数（）(5)零是非负数（）(6)零是负数（）想一想：例4、数学考试成绩85分以上为优秀，以85分为标准，老师将某一小组五名同学的成绩简记为：+9，－4，+11，－7.0,则这五名同学的实际成绩分别为多少？例5、表达出下列语句所表示的意义：（1）向东走－100米（2）气温上升－3℃（3）支出－100元思考并回答：（1）0和1之间有没有正数？（2）0和－1之间有没有负数？例6、粮食每袋标准重量是50千克，现测得甲、乙、丙三袋粮食重量如下：51千克、52千克、49千克，如果超重部分用正数表示，不足部分用负数表示，请用正数和负数记录甲、乙、丙三袋粮食的超重数．并求出他们的平均重量是多少？【经典练习】1．（1）如果零上2℃记做+2℃，那么零下4℃记作．（2）如果收入50元记作+50元，那么支出30元记作．（3）如果下降10米记作－10米，那么上升20米记作．（4）如果向南走5米记作－5米，那么向北走10米记作．1、正整数中有没有最小的数？2、正整数中有没有最大的数？3、负整数中有没有最小的数？4、负整数中有没有最大的数？5、正数中有没有最大的数？6、正数中有没有最小的数？7、负数中有没有最大的数？8、负数中有没有最小的数？启未教育——扬帆启航，引领未来！★小升初衔接班暑期培优专用教材（数学）在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么.————达哥拉斯培优热线：18673327159130551292911527339535732．提供下列数据，请填入相应的大括号内411，53，－2，80，0.001，3.14，722，0，－100正数集合，负数集合，整数集合，分数集合．3．下列说法正确的是（）A、有理数不是正数就是负数B、0是最小的有理数C、正数和负数统称为有理数D、71是分数也是有理数4．下列说法正确的个数有（）（1）0既不是正数，也不是负数（2）34是负数，但不是分数（3）自然数都是正数（4）负分数一定是负有理数A、2个B、3个C、4个D、1个5．下列说法正确的是（）A、一个有理数不是正数，就是负数B、整数一定是正数C、最小的整数是0D、自然数是整数6．关于0，下列说法正确的个数有（）个①0既不是正数，也不是负数；②零既不是整数，也不是分数；③0不是自然数，但它是整数A、0B、1C、2D、37．有理数集合是（）A、正数与负数的集合B、正整数、负整数与分数的集合C、整数与分数的集合D、整数与负数的集合8．说出下列语句的意义：（1）收入－20元；（2）支出－120元；（3）前进－2米．★9．一艘潜水艇的高度是－80米，如果它上浮－10米，这时它所在位置是海平面以下米．★10．一条笔直的公路，A、B两地相距6千米，某同学骑自行车从A地去B地，他骑车走了2千米，却与B地相距8千米．你能说出这是为什么吗？启未教育——扬帆启航，引领未来！★小升初衔接班暑期培优专用教材（数学）在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么.————达哥拉斯培优热线：1867332715913055129291152733953574【课后作业】一、填空题1．在下列各数中：－8,0.07,65,－0.3,1999,－433,－3456,88.8,0,722是正数；是负数．2．把下列各数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开）：－8,0.07,65,－0.3,1999,－433,－3456,88.8,0,722（1）正整数集合：…；（2）负整数集合：…；（3）正分数集合：…；（4）负分数集合：…（5）整数集合：…；3．如果+120吨表示运进仓库粮食120吨，那么－50吨表示．4．冬天某地的某一天，早晨5时的气温是零下2度，记作－2℃，上午10时，气温上升到零上2度，应记作，正午12时比上午10时上升了1度，这时的气温应记作，下午6时比正午12时下降了4度，这时的气温应记作，晚间12时比下午6时又下降了5度，这时的气温应记作．5．用正数或负数表示下列数量：（1）珠穆朗玛峰高出海平面8848.13米；.（2）太平洋最深处低于海平面11022米．．★6．在有理数中，是整数而不是正数的是，是负数而不是分数的是．二、解答题7筐苹果，以每筐25千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下：+2，－1，－2，+1，+3，－4，－3．这七筐苹果实际各重多少千克？【口算集训】21×21=32×43=12×32=41＋3=54÷21=98÷4=45×54=5÷65=32÷32=132×2=265×13=41÷31=启未教育——扬帆启航，引领未来！★小升初衔接班暑期培优专用教材（数学）在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么.————达哥拉斯培优热线：1867332715913055129291152733953575第二讲数轴、相反数与倒数【学习目标】1、掌握数轴，相反数，倒数的概念并会灵活运用，能熟练地画数轴。2、通过归纳相反数在数轴上所表示的点的特征，培养归纳能力；3、体验数形结合的思想。【知识要点】1、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。原点，正方向和单位长度是数轴的三要素，缺一不可。2、数轴的画法：①画一条直线。②在直线上选取一点为原点，并用这点表示零。③确定正方向，用箭头表示出来。④选取适当的长度为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1,2,3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为-1，-2，-3，…3、数轴上的点与有理数的关系：所有的点都可以用数轴上的点表示；反过来，不能说数轴上的点都表示有理数。正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。4、利用数轴比较有理数的大小：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；正数都大于0，负数都小于0,；正数大于一切负数。5、相反数从代数角度看，只有符号不同的两个数叫做互为相反数.从几何角度看，在数轴上的原点两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的两个数称为相反数．6、判断互为相反数的两种方法：①从式子上看，若0ab，则ab与互为相反数；②从直观上看aa与是互为相反数。7、倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数。注意：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数，整数的倒数是分数。【经典例题】例1、如下图所示，数轴中正确的是（）例2、把下列各数在数轴上表示出来，并且从小到大用“＜”连接起来：－2，132，0，14，1，142，152。B－101A－101C－101D启未教育——扬帆启航，引领未来！★小升初衔接班暑期培优专用教材（数学）在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么.————达哥拉斯培优热线：1867332715913055129291152733953576例3、写出5，-3，0，-1.25各数的相反数和倒数，并把它们都在数轴上表示出来，例4、已知A、B是数轴上的点。（1）若点A表示－3，以点A出发，沿数轴移动4个单位长度到达B点，则B点表示的数是。（2）若将点A向左移动3个单位长度，再向右移动5个单位长度，这时点A表示的数是0，那么点A原来表示的数是。例5、化简下列各数：（1）100（2）32（3）54（4）324★例6、（数与生活）李华的家（记为A）与他上学的学校（记为B）、体育馆（记为C）一次坐落在一条东西走向的大街上，李华家位于学校西边60米处，体育馆位于学校东边50米处，李华从学校沿着这条大街向东走了30米，接着又向西走了90米到达D处试用数轴表示上述A、B、C、D的位置。【经典练习】一、选择题1、下列图中为数轴是（）ABCD2、下面说法正确的是()A.-(+4)是-4的相反数B.-(-35)是-35的相反数C.-13的相反数是+(-13)D.+6的相反数是-(-6)3、下列各对数中，互为相反数的有()。+(-3)与(-3)，+(+3)与-3，-(-3)与+(-3)，-(+3)与+(-3)，-(-3)与+(+3)，+3与(-3)A.3对B.4对C.5对D.6对-202-202-202启未教育——扬帆启航，引领未来！★小升初衔接班暑期培优专用教材（数学）在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么.————达哥拉斯培优热线：18673327159130551292911527339535774、下列说法正确的是()。A.-41和0.25不是互为相反数。B.-a是负数。C.任何一个数都有它的相反数。D.正数与负数互为相反数。5.下列说法正确的是（）A没有最大的正数，但有最大的负数；B没有最小的负数，但有最小的正数；C有最大的负整数，也有最小的正整数；D有最小的有理数是0。二、填空1、在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数_______。2、在数轴上表示数2的点与表示数-5的点之间的距离是_______。3、-3.85的相反数是,7.6是的相反数,相反数是它本身的数的有；4、用“＞”或“＜”号填空。①3.50②-2.80③75-76④0-45、5×=1-3×=10.25×=16、02.0=-(-3.1416)=-(+7.05)=-(-199)=7、数a、b在数轴上的位置如图，则b_______a（填“”或“”）。8、比5小的正整数有；比—5大的负整数有．三、判断题1、正数和负数是互为相反数.（）2、如果a是有理数，那么-a一定表示负有理数.（）3、互为相反数的两个数一定不相等.（）4、一个数的相反数是它本身，这个数一定是零.（）5、数轴上所有的点都表示有理数.()6、数轴上找不到既不表示正数也不表示负数的点.()四、解答题1、一个点从数轴上表示—2的点开始，向右移动4个单位长度，再向左移动5个单位